src/surf/lagrange.cpp

   1 /* Copyright (c) 2007-2017. The SimGrid Team. All rights reserved.          */
   2
   3 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   4  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   5
   6 /*
   7  * Modeling the proportional fairness using the Lagrangian Optimization Approach. For a detailed description see:
   8  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
   9  */
  10 #include "surf/maxmin.hpp"
  11 #include "xbt/log.h"
  12 #include "xbt/sysdep.h"
  13
  14 #include <algorithm>
  15 #include <cstdlib>
  16 #ifndef MATH
  17 #include <cmath>
  18 #endif
  19
  20 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf, "Logging specific to SURF (lagrange)");
  21 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange, "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  22
  23 #define SHOW_EXPR(expr) XBT_CDEBUG(surf_lagrange,#expr " = %g",expr);
  24
  25 namespace simgrid {
  26 namespace surf {
  27
  28 double (*func_f_def) (lmm_variable_t, double);
  29 double (*func_fp_def) (lmm_variable_t, double);
  30 double (*func_fpi_def) (lmm_variable_t, double);
  31
  32 /*
  33  * Local prototypes to implement the Lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  34  */
  35 //solves the proportional fairness using a Lagrangian optimization with dichotomy step
  36 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  37 //computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  38 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *), void *var_cnst, double min_error);
  39 //computes the value of the differential of constraint param_cnst applied to lambda
  40 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst);
  41
  42 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list, int warn)
  43 {
  44   void* _cnst;
  45   void* _elem;
  46   void* _var;
  47   xbt_swag_t elem_list = nullptr;
  48   lmm_element_t elem = nullptr;
  49   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
  50   lmm_variable_t var = nullptr;
  51
  52   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
  53     cnst       = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
  54     double tmp = 0;
  55     elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
  56     xbt_swag_foreach(_elem, elem_list) {
  57       elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
  58       var = elem->variable;
  59       xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
  60       tmp += var->value;
  61     }
  62
  63     if (double_positive(tmp - cnst->bound, sg_maxmin_precision)) {
  64       if (warn)
  65         XBT_WARN ("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f", cnst, cnst->bound, tmp);
  66       return 0;
  67     }
  68     XBT_DEBUG ("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ", cnst, tmp - cnst->bound,
  69                cnst->lambda);
  70   }
  71
  72   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
  73     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
  74     if (not var->sharing_weight)
  75       break;
  76     if (var->bound < 0)
  77       continue;
  78     XBT_DEBUG("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var, var->value - var->bound, var->mu);
  79
  80     if (double_positive(var->value - var->bound, sg_maxmin_precision)) {
  81       if (warn)
  82         XBT_WARN ("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f", var, var->bound, var->value);
  83       return 0;
  84     }
  85   }
  86   return 1;
  87 }
  88
  89 static double new_value(lmm_variable_t var)
  90 {
  91   double tmp = 0;
  92
  93   for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
  94     tmp += elem.constraint->lambda;
  95   }
  96   if (var->bound > 0)
  97     tmp += var->mu;
  98   XBT_DEBUG("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", var, tmp, var->sharing_weight);
  99   //uses the partial differential inverse function
 100   return var->func_fpi(var, tmp);
 101 }
 102
 103 static double new_mu(lmm_variable_t var)
 104 {
 105   double mu_i = 0.0;
 106   double sigma_i = 0.0;
 107
 108   for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 109     sigma_i += elem.constraint->lambda;
 110   }
 111   mu_i = var->func_fp(var, var->bound) - sigma_i;
 112   if (mu_i < 0.0)
 113     return 0.0;
 114   return mu_i;
 115 }
 116
 117 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 118 {
 119   void *_cnst;
 120   void *_var;
 121   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 122   lmm_variable_t var = nullptr;
 123
 124   double obj = 0.0;
 125
 126   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 127     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 128     double sigma_i = 0.0;
 129
 130     if (not var->sharing_weight)
 131       break;
 132
 133     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts)
 134       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 135
 136     if (var->bound > 0)
 137       sigma_i += var->mu;
 138
 139     XBT_DEBUG("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 140
 141     obj += var->func_f(var, var->func_fpi(var, sigma_i)) - sigma_i * var->func_fpi(var, sigma_i);
 142
 143     if (var->bound > 0)
 144       obj += var->mu * var->bound;
 145   }
 146
 147   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 148     cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 149     obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 150   }
 151
 152   return obj;
 153 }
 154
 155 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 156 {
 157   /* Lagrange Variables. */
 158   int max_iterations = 100;
 159   double epsilon_min_error = 0.00001; /* this is the precision on the objective function so it's none of the configurable values and this value is the legacy one */
 160   double dichotomy_min_error = 1e-14;
 161   double overall_modification = 1;
 162
 163   /* Variables to manipulate the data structure proposed to model the maxmin fairness. See documentation for details. */
 164   xbt_swag_t cnst_list = nullptr;
 165   void *_cnst;
 166   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 167
 168   xbt_swag_t var_list = nullptr;
 169   void *_var;
 170   lmm_variable_t var = nullptr;
 171
 172   /* Auxiliary variables. */
 173   int iteration = 0;
 174   double tmp = 0;
 175   int i;
 176   double obj;
 177   double new_obj;
 178
 179   XBT_DEBUG("Iterative method configuration snapshot =====>");
 180   XBT_DEBUG("#### Maximum number of iterations        : %d", max_iterations);
 181   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated             : %e", epsilon_min_error);
 182   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e", dichotomy_min_error);
 183
 184   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 185     sys->print();
 186   }
 187
 188   if (not sys->modified)
 189     return;
 190
 191   /* Initialize lambda. */
 192   cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 193   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 194   cnst = (lmm_constraint_t)_cnst;
 195     cnst->lambda = 1.0;
 196     cnst->new_lambda = 2.0;
 197     XBT_DEBUG("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 198   }
 199
 200   /*
 201    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 202    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 203    */
 204   var_list = &(sys->variable_set);
 205   i = 0;
 206   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 207     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 208     if (not var->sharing_weight)
 209       var->value = 0.0;
 210     else {
 211       if (var->bound < 0.0) {
 212         XBT_DEBUG("#### NOTE var(%d) is a boundless variable", i);
 213         var->mu    = -1.0;
 214         var->value = new_value(var);
 215       } else {
 216         var->mu     = 1.0;
 217         var->new_mu = 2.0;
 218         var->value  = new_value(var);
 219       }
 220       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->sharing_weight);
 221       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 222       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->sharing_weight);
 223       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 224       auto weighted = std::find_if(begin(var->cnsts), end(var->cnsts),
 225                                    [](s_lmm_element_t const& x) { return x.consumption_weight != 0.0; });
 226       if (weighted == end(var->cnsts))
 227         var->value = 1.0;
 228     }
 229   }
 230
 231   /*  Compute dual objective. */
 232   obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 233
 234   /* While doesn't reach a minimum error or a number maximum of iterations. */
 235   while (overall_modification > epsilon_min_error && iteration < max_iterations) {
 236     iteration++;
 237     XBT_DEBUG("************** ITERATION %d **************", iteration);
 238     XBT_DEBUG("-------------- Gradient Descent ----------");
 239
 240     /* Improve the value of mu_i */
 241     xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 242       var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 243       if (not var->sharing_weight)
 244         break;
 245       if (var->bound >= 0) {
 246         XBT_DEBUG("Working on var (%p)", var);
 247         var->new_mu = new_mu(var);
 248         XBT_DEBUG("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var, var->mu, var->new_mu);
 249         var->mu = var->new_mu;
 250
 251         new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 252         XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 253         xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 254         obj = new_obj;
 255       }
 256     }
 257
 258     /* Improve the value of lambda_i */
 259     xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 260       cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 261       XBT_DEBUG("Working on cnst (%p)", cnst);
 262       cnst->new_lambda = dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, cnst, dichotomy_min_error);
 263       XBT_DEBUG("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f", cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 264       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 265
 266       new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 267       XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 268       xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 269       obj = new_obj;
 270     }
 271
 272     /* Now computes the values of each variable (\rho) based on the values of \lambda and \mu. */
 273     XBT_DEBUG("-------------- Check convergence ----------");
 274     overall_modification = 0;
 275     xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 276       var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 277       if (var->sharing_weight <= 0)
 278         var->value = 0.0;
 279       else {
 280         tmp = new_value(var);
 281
 282         overall_modification = std::max(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 283
 284         var->value = tmp;
 285         XBT_DEBUG("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e", var, var->value, overall_modification);
 286       }
 287     }
 288
 289     XBT_DEBUG("-------------- Check feasability ----------");
 290     if (not __check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 291       overall_modification = 1.0;
 292     XBT_DEBUG("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration, overall_modification);
 293   }
 294
 295   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 296
 297   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 298     XBT_DEBUG("The method converges in %d iterations.", iteration);
 299   }
 300   if (iteration >= max_iterations) {
 301     XBT_DEBUG ("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.", iteration);
 302   }
 303
 304   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 305     sys->print();
 306   }
 307 }
 308
 309 /*
 310  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy process with respect to a given
 311  * variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in case of a constraint) and a initial value init.
 312  *
 313  * @param init initial value for \mu or \lambda
 314  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 315  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 316  * @param min_erro a minimum error tolerated
 317  *
 318  * @return a double corresponding to the result of the dichotomy process
 319  */
 320 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *), void *var_cnst, double min_error)
 321 {
 322   double min =init;
 323   double max= init;
 324   double overall_error;
 325   double middle;
 326   double middle_diff;
 327   double diff_0 = 0.0;
 328
 329   XBT_IN();
 330
 331   if (fabs(init) < 1e-20) {
 332     min = 0.5;
 333     max = 0.5;
 334   }
 335
 336   overall_error = 1;
 337
 338   diff_0 = diff(1e-16, var_cnst);
 339   if (diff_0 >= 0) {
 340     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 341     XBT_OUT();
 342     return 0.0;
 343   }
 344
 345   double min_diff = diff(min, var_cnst);
 346   double max_diff = diff(max, var_cnst);
 347
 348   while (overall_error > min_error) {
 349     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f",
 350                min, max, min_diff, max_diff);
 351
 352     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 353       if (min == max) {
 354         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 355         min = min / 2.0;
 356         min_diff = diff(min, var_cnst);
 357       } else {
 358         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 359         max = min;
 360         max_diff = min_diff;
 361       }
 362     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 363       if (min == max) {
 364         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 365         max = max * 2.0;
 366         max_diff = diff(max, var_cnst);
 367       } else {
 368         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 369         min = max;
 370         min_diff = max_diff;
 371       }
 372     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 373       middle = (max + min) / 2.0;
 374       XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f", middle);
 375
 376       if ((fabs(min - middle) < 1e-20) || (fabs(max - middle) < 1e-20)){
 377         XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 378                   " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 379                   min, max - min, min_diff, max_diff);
 380         break;
 381       }
 382       middle_diff = diff(middle, var_cnst);
 383
 384       if (middle_diff < 0) {
 385         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 386         min = middle;
 387         overall_error = max_diff - middle_diff;
 388         min_diff = middle_diff;
 389       } else if (middle_diff > 0) {
 390         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 391         max = middle;
 392         overall_error = max_diff - middle_diff;
 393         max_diff = middle_diff;
 394       } else {
 395         overall_error = 0;
 396       }
 397     } else if (fabs(min_diff) < 1e-20) {
 398       max = min;
 399       overall_error = 0;
 400     } else if (fabs(max_diff) < 1e-20) {
 401       min = max;
 402       overall_error = 0;
 403     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 404       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 405       xbt_abort();
 406     } else {
 407       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 408              "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.",
 409              min_diff, max_diff);
 410       xbt_abort();
 411     }
 412   }
 413
 414   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 415   XBT_OUT();
 416   return ((min + max) / 2.0);
 417 }
 418
 419 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst)
 420 {
 421   lmm_constraint_t cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(param_cnst);
 422   double diff = 0.0;
 423
 424   XBT_IN();
 425
 426   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", cnst);
 427
 428   xbt_swag_t elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
 429   void* _elem;
 430   xbt_swag_foreach(_elem, elem_list) {
 431     lmm_element_t elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
 432     lmm_variable_t var = elem->variable;
 433     xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
 434     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)", var);
 435     // Initialize the summation variable
 436     double sigma_i = 0.0;
 437
 438     // Compute sigma_i
 439     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 440       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 441     }
 442
 443     //add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 444     if (var->bound > 0)
 445       sigma_i += var->mu;
 446
 447     //replace value of cnst->lambda by the value of parameter lambda
 448     sigma_i = (sigma_i - cnst->lambda) + lambda;
 449
 450     diff += -var->func_fpi(var, sigma_i);
 451   }
 452
 453   diff += cnst->bound;
 454
 455   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", cnst, lambda, diff);
 456   XBT_OUT();
 457   return diff;
 458 }
 459
 460 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 461  *
 462  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 463  *
 464  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polymorphism in C pure, enjoy the roots of
 465  *  programming.
 466  *
 467  */
 468 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f) (lmm_variable_t var, double x),
 469                                        double (*func_fp) (lmm_variable_t var, double x),
 470                                        double (*func_fpi) (lmm_variable_t var, double x))
 471 {
 472   func_f_def = func_f;
 473   func_fp_def = func_fp;
 474   func_fpi_def = func_fpi;
 475 }
 476
 477 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 478 /* NOTE for Reno: all functions consider the network coefficient (alpha) equal to 1. */
 479
 480 /*
 481  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 482  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 483  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 484  */
 485 #define VEGAS_SCALING 1000.0
 486
 487 double func_vegas_f(lmm_variable_t var, double x)
 488 {
 489   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 490   return VEGAS_SCALING * var->sharing_weight * log(x);
 491 }
 492
 493 double func_vegas_fp(lmm_variable_t var, double x)
 494 {
 495   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 496   return VEGAS_SCALING * var->sharing_weight / x;
 497 }
 498
 499 double func_vegas_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 500 {
 501   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 502   return var->sharing_weight / (x / VEGAS_SCALING);
 503 }
 504
 505 /*
 506  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 507  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 508  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 509  */
 510 #define RENO_SCALING 1.0
 511 double func_reno_f(lmm_variable_t var, double x)
 512 {
 513   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 514
 515   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var->sharing_weight * atan(sqrt(3.0 / 2.0) * var->sharing_weight * x);
 516 }
 517
 518 double func_reno_fp(lmm_variable_t var, double x)
 519 {
 520   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var->sharing_weight * var->sharing_weight * x * x + 2.0);
 521 }
 522
 523 double func_reno_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 524 {
 525   double res_fpi;
 526
 527   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 528   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 529
 530   res_fpi = 1.0 / (var->sharing_weight * var->sharing_weight * (x / RENO_SCALING)) -
 531             2.0 / (3.0 * var->sharing_weight * var->sharing_weight);
 532   if (res_fpi <= 0.0)
 533     return 0.0;
 534   return sqrt(res_fpi);
 535 }
 536
 537 /* Implementing new Reno-2
 538  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 539  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 540  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 541  */
 542 #define RENO2_SCALING 1.0
 543 double func_reno2_f(lmm_variable_t var, double x)
 544 {
 545   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 546   return RENO2_SCALING * (1.0 / var->sharing_weight) *
 547          log((x * var->sharing_weight) / (2.0 * x * var->sharing_weight + 3.0));
 548 }
 549
 550 double func_reno2_fp(lmm_variable_t var, double x)
 551 {
 552   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var->sharing_weight * x * (2.0 * var->sharing_weight * x + 3.0));
 553 }
 554
 555 double func_reno2_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 556 {
 557   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 558   double tmp     = x * var->sharing_weight * var->sharing_weight;
 559   double res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 560
 561   if (res_fpi <= 0.0)
 562     return 0.0;
 563
 564   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 565   return res_fpi;
 566 }
 567 }
 568 }