Problème des N corps
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  .. image:: img/nbodies.jpg
		:width: 300px

On considère :math:`N` corps de masses :math:`m_i` situés aux positions :math:`x_i`, dont les accélérations sont notées :math:`a_i` et les vitesses :math:`v_i`.
Ces corps, distants deux à deux de :math:`r_{ij}`, intéragissent entre eux de telle sorte que la force d'attraction exercée par le corps :math:`i` sur le corps :math:`j` s'écrit

.. math:: 

	f_{ij} = G.\frac{m_i.m_j}{||r_{ij}||^2}.\frac{r_{ij}}{||r_{ij}||}

où :math:`G` est la constante gravitationnelle.

Ainsi, la force total à laquelle est soumise le corps :math:`i` s'écrit

.. math::
	
	F_i = \sum_{1\leq j\leq N, i\neq j}f{ij} = G.m_i.\sum_{1\leq j\leq N, i\neq j}\frac{m_jr_{ij}}{||r_{ij}||^3}

Toutefois, si deux corps se rapprochent l'un de l'autre, le module de la force peut croître à l'infini, ce qui n'est pas réaliste, mais également indésirable pour l'application numérisue. Les astrophysiciens introduisent ainsi un facteur d'*adoucissement* :math:`\epsilon ^2 >0` et récrivent la force totale comme ceci

.. math::
	
	F_i \approx G.m_i.\sum_{1\leq j\leq N}\frac{m_jr_{ij}}{(||r_{ij}||^2+\epsilon ^2)^{3/2}}

.. note::
	
	Il n'est plus nécessaire d'exclure le cas :math:`i=j` dans la somme, car le terme correspondant est maintenant nul.

Un :download:`code C <nbodies.c>` séquentiel résolvant numériquement (et naïvement) ce problème est fourni.

.. admonition:: Expérimentations
	:class: question

	* Compiler puis exécuter ce code 
	  
	  .. code:: bash

	  		$ gcc -o nbodies_cpu nbodies.c -lm
	  		$ ./nbodies_cpu
	  		time 50
			0  :  792.225281 448.235229 121.332932 
			1  :  87.042427 424.013336 297.350372 
			2  :  828.998291 602.228271 386.746857 
			3  :  821.491333 821.837585 130.515076 
			4  :  445.159882 419.724823 123.051498 
			5  :  37.567375 432.389099 596.640198 
			6  :  952.566284 372.296600 450.054871 
			7  :  52.613991 487.164154 621.986145 
			8  :  413.661682 295.292633 669.260925 
			9  :  933.443909 203.695084 724.534790 

	* Écrire un équivalent parallèle pour GPU en CUDA.
	* Comparer ses performances avec celles de la version séquentielle.