src/kernel/lmm/lagrange.cpp

   1 /* Copyright (c) 2007-2017. The SimGrid Team. All rights reserved.          */
   2
   3 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   4  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   5
   6 /*
   7  * Modeling the proportional fairness using the Lagrangian Optimization Approach. For a detailed description see:
   8  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
   9  */
  10 #include "src/kernel/lmm/maxmin.hpp"
  11 #include "xbt/log.h"
  12 #include "xbt/sysdep.h"
  13
  14 #include <algorithm>
  15 #include <cstdlib>
  16 #ifndef MATH
  17 #include <cmath>
  18 #endif
  19
  20 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf, "Logging specific to SURF (lagrange)");
  21 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange, "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  22
  23 #define SHOW_EXPR(expr) XBT_CDEBUG(surf_lagrange, #expr " = %g", expr);
  24 #define VEGAS_SCALING 1000.0
  25 #define RENO_SCALING 1.0
  26 #define RENO2_SCALING 1.0
  27
  28 namespace simgrid {
  29 namespace kernel {
  30 namespace lmm {
  31
  32 double (*func_f_def)(const s_lmm_variable_t&, double);
  33 double (*func_fp_def)(const s_lmm_variable_t&, double);
  34 double (*func_fpi_def)(const s_lmm_variable_t&, double);
  35
  36 /*
  37  * Local prototypes to implement the Lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  38  */
  39 // solves the proportional fairness using a Lagrangian optimization with dichotomy step
  40 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  41 // computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  42 static double dichotomy(double init, double diff(double, void*), void* var_cnst, double min_error);
  43 // computes the value of the differential of constraint param_cnst applied to lambda
  44 static double partial_diff_lambda(double lambda, void* param_cnst);
  45
  46 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list, int warn)
  47 {
  48   void* _cnst;
  49   void* _elem;
  50   void* _var;
  51   xbt_swag_t elem_list  = nullptr;
  52   lmm_element_t elem    = nullptr;
  53   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
  54   lmm_variable_t var    = nullptr;
  55
  56   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
  57   {
  58     cnst       = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
  59     double tmp = 0;
  60     elem_list  = &(cnst->enabled_element_set);
  61     xbt_swag_foreach(_elem, elem_list)
  62     {
  63       elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
  64       var  = elem->variable;
  65       xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
  66       tmp += var->value;
  67     }
  68
  69     if (double_positive(tmp - cnst->bound, sg_maxmin_precision)) {
  70       if (warn)
  71         XBT_WARN("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f", cnst, cnst->bound, tmp);
  72       return 0;
  73     }
  74     XBT_DEBUG("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ", cnst, tmp - cnst->bound,
  75               cnst->lambda);
  76   }
  77
  78   xbt_swag_foreach(_var, var_list)
  79   {
  80     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
  81     if (not var->sharing_weight)
  82       break;
  83     if (var->bound < 0)
  84       continue;
  85     XBT_DEBUG("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var, var->value - var->bound, var->mu);
  86
  87     if (double_positive(var->value - var->bound, sg_maxmin_precision)) {
  88       if (warn)
  89         XBT_WARN("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f", var, var->bound, var->value);
  90       return 0;
  91     }
  92   }
  93   return 1;
  94 }
  95
  96 static double new_value(lmm_variable_t var)
  97 {
  98   double tmp = 0;
  99
 100   for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 101     tmp += elem.constraint->lambda;
 102   }
 103   if (var->bound > 0)
 104     tmp += var->mu;
 105   XBT_DEBUG("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", var, tmp, var->sharing_weight);
 106   // uses the partial differential inverse function
 107   return var->func_fpi(*var, tmp);
 108 }
 109
 110 static double new_mu(lmm_variable_t var)
 111 {
 112   double mu_i    = 0.0;
 113   double sigma_i = 0.0;
 114
 115   for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 116     sigma_i += elem.constraint->lambda;
 117   }
 118   mu_i = var->func_fp(*var, var->bound) - sigma_i;
 119   if (mu_i < 0.0)
 120     return 0.0;
 121   return mu_i;
 122 }
 123
 124 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 125 {
 126   void* _cnst;
 127   void* _var;
 128   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 129   lmm_variable_t var    = nullptr;
 130
 131   double obj = 0.0;
 132
 133   xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 134   {
 135     var            = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 136     double sigma_i = 0.0;
 137
 138     if (not var->sharing_weight)
 139       break;
 140
 141     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts)
 142       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 143
 144     if (var->bound > 0)
 145       sigma_i += var->mu;
 146
 147     XBT_DEBUG("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 148
 149     obj += var->func_f(*var, var->func_fpi(*var, sigma_i)) - sigma_i * var->func_fpi(*var, sigma_i);
 150
 151     if (var->bound > 0)
 152       obj += var->mu * var->bound;
 153   }
 154
 155   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
 156   {
 157     cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 158     obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 159   }
 160
 161   return obj;
 162 }
 163
 164 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 165 {
 166   /* Lagrange Variables. */
 167   int max_iterations       = 100;
 168   double epsilon_min_error = 0.00001; /* this is the precision on the objective function so it's none of the
 169                                          configurable values and this value is the legacy one */
 170   double dichotomy_min_error  = 1e-14;
 171   double overall_modification = 1;
 172
 173   XBT_DEBUG("Iterative method configuration snapshot =====>");
 174   XBT_DEBUG("#### Maximum number of iterations        : %d", max_iterations);
 175   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated             : %e", epsilon_min_error);
 176   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e", dichotomy_min_error);
 177
 178   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 179     sys->print();
 180   }
 181
 182   if (not sys->modified)
 183     return;
 184
 185   /* Initialize lambda. */
 186   xbt_swag_t cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 187   void* _cnst;
 188   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
 189   {
 190     lmm_constraint_t cnst = (lmm_constraint_t)_cnst;
 191     cnst->lambda          = 1.0;
 192     cnst->new_lambda      = 2.0;
 193     XBT_DEBUG("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 194   }
 195
 196   /*
 197    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 198    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 199    */
 200   xbt_swag_t var_list = &(sys->variable_set);
 201   void* _var;
 202   xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 203   {
 204     lmm_variable_t var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 205     if (not var->sharing_weight)
 206       var->value = 0.0;
 207     else {
 208       if (var->bound < 0.0) {
 209         XBT_DEBUG("#### NOTE var(%p) is a boundless variable", var);
 210         var->mu = -1.0;
 211       } else {
 212         var->mu     = 1.0;
 213         var->new_mu = 2.0;
 214       }
 215       var->value = new_value(var);
 216       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->sharing_weight);
 217       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 218       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->sharing_weight);
 219       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 220       auto weighted = std::find_if(begin(var->cnsts), end(var->cnsts),
 221                                    [](s_lmm_element_t const& x) { return x.consumption_weight != 0.0; });
 222       if (weighted == end(var->cnsts))
 223         var->value = 1.0;
 224     }
 225   }
 226
 227   /*  Compute dual objective. */
 228   double obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 229
 230   /* While doesn't reach a minimum error or a number maximum of iterations. */
 231   int iteration = 0;
 232   while (overall_modification > epsilon_min_error && iteration < max_iterations) {
 233     iteration++;
 234     XBT_DEBUG("************** ITERATION %d **************", iteration);
 235     XBT_DEBUG("-------------- Gradient Descent ----------");
 236
 237     /* Improve the value of mu_i */
 238     xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 239     {
 240       lmm_variable_t var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 241       if (var->sharing_weight && var->bound >= 0) {
 242         XBT_DEBUG("Working on var (%p)", var);
 243         var->new_mu = new_mu(var);
 244         XBT_DEBUG("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var, var->mu, var->new_mu);
 245         var->mu = var->new_mu;
 246
 247         double new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 248         XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 249         xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 250         obj = new_obj;
 251       }
 252     }
 253
 254     /* Improve the value of lambda_i */
 255     xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
 256     {
 257       lmm_constraint_t cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 258       XBT_DEBUG("Working on cnst (%p)", cnst);
 259       cnst->new_lambda = dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, cnst, dichotomy_min_error);
 260       XBT_DEBUG("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f", cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 261       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 262
 263       double new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 264       XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 265       xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 266       obj = new_obj;
 267     }
 268
 269     /* Now computes the values of each variable (\rho) based on the values of \lambda and \mu. */
 270     XBT_DEBUG("-------------- Check convergence ----------");
 271     overall_modification = 0;
 272     xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 273     {
 274       lmm_variable_t var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 275       if (var->sharing_weight <= 0)
 276         var->value = 0.0;
 277       else {
 278         double tmp = new_value(var);
 279
 280         overall_modification = std::max(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 281
 282         var->value = tmp;
 283         XBT_DEBUG("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e", var, var->value, overall_modification);
 284       }
 285     }
 286
 287     XBT_DEBUG("-------------- Check feasability ----------");
 288     if (not __check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 289       overall_modification = 1.0;
 290     XBT_DEBUG("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration, overall_modification);
 291   }
 292
 293   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 294
 295   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 296     XBT_DEBUG("The method converges in %d iterations.", iteration);
 297   }
 298   if (iteration >= max_iterations) {
 299     XBT_DEBUG("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.", iteration);
 300   }
 301
 302   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 303     sys->print();
 304   }
 305 }
 306
 307 /*
 308  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy process with respect to a given
 309  * variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in case of a constraint) and a initial value init.
 310  *
 311  * @param init initial value for \mu or \lambda
 312  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 313  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 314  * @param min_erro a minimum error tolerated
 315  *
 316  * @return a double corresponding to the result of the dichotomy process
 317  */
 318 static double dichotomy(double init, double diff(double, void*), void* var_cnst, double min_error)
 319 {
 320   double min = init;
 321   double max = init;
 322   double overall_error;
 323   double middle;
 324   double middle_diff;
 325   double diff_0 = 0.0;
 326
 327   XBT_IN();
 328
 329   if (fabs(init) < 1e-20) {
 330     min = 0.5;
 331     max = 0.5;
 332   }
 333
 334   overall_error = 1;
 335
 336   diff_0 = diff(1e-16, var_cnst);
 337   if (diff_0 >= 0) {
 338     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 339     XBT_OUT();
 340     return 0.0;
 341   }
 342
 343   double min_diff = diff(min, var_cnst);
 344   double max_diff = diff(max, var_cnst);
 345
 346   while (overall_error > min_error) {
 347     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f", min, max,
 348                min_diff, max_diff);
 349
 350     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 351       if (min == max) {
 352         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 353         min      = min / 2.0;
 354         min_diff = diff(min, var_cnst);
 355       } else {
 356         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 357         max      = min;
 358         max_diff = min_diff;
 359       }
 360     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 361       if (min == max) {
 362         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 363         max      = max * 2.0;
 364         max_diff = diff(max, var_cnst);
 365       } else {
 366         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 367         min      = max;
 368         min_diff = max_diff;
 369       }
 370     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 371       middle = (max + min) / 2.0;
 372       XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f", middle);
 373
 374       if ((fabs(min - middle) < 1e-20) || (fabs(max - middle) < 1e-20)) {
 375         XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 376                   "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 377                   " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 378                   min, max - min, min_diff, max_diff);
 379         break;
 380       }
 381       middle_diff = diff(middle, var_cnst);
 382
 383       if (middle_diff < 0) {
 384         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 385         min           = middle;
 386         overall_error = max_diff - middle_diff;
 387         min_diff      = middle_diff;
 388       } else if (middle_diff > 0) {
 389         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 390         max           = middle;
 391         overall_error = max_diff - middle_diff;
 392         max_diff      = middle_diff;
 393       } else {
 394         overall_error = 0;
 395       }
 396     } else if (fabs(min_diff) < 1e-20) {
 397       max           = min;
 398       overall_error = 0;
 399     } else if (fabs(max_diff) < 1e-20) {
 400       min           = max;
 401       overall_error = 0;
 402     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 403       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 404       xbt_abort();
 405     } else {
 406       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 407                 "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.", min_diff,
 408                 max_diff);
 409       xbt_abort();
 410     }
 411   }
 412
 413   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 414   XBT_OUT();
 415   return ((min + max) / 2.0);
 416 }
 417
 418 static double partial_diff_lambda(double lambda, void* param_cnst)
 419 {
 420   lmm_constraint_t cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(param_cnst);
 421   double diff           = 0.0;
 422
 423   XBT_IN();
 424
 425   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", cnst);
 426
 427   xbt_swag_t elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
 428   void* _elem;
 429   xbt_swag_foreach(_elem, elem_list)
 430   {
 431     lmm_element_t elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
 432     lmm_variable_t var = elem->variable;
 433     xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
 434     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)", var);
 435     // Initialize the summation variable
 436     double sigma_i = 0.0;
 437
 438     // Compute sigma_i
 439     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 440       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 441     }
 442
 443     // add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 444     if (var->bound > 0)
 445       sigma_i += var->mu;
 446
 447     // replace value of cnst->lambda by the value of parameter lambda
 448     sigma_i = (sigma_i - cnst->lambda) + lambda;
 449
 450     diff += -var->func_fpi(*var, sigma_i);
 451   }
 452
 453   diff += cnst->bound;
 454
 455   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", cnst, lambda, diff);
 456   XBT_OUT();
 457   return diff;
 458 }
 459
 460 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 461  *
 462  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 463  *
 464  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polymorphism in C pure, enjoy the roots of
 465  *  programming.
 466  *
 467  */
 468 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f)(const s_lmm_variable_t& var, double x),
 469                                        double (*func_fp)(const s_lmm_variable_t& var, double x),
 470                                        double (*func_fpi)(const s_lmm_variable_t& var, double x))
 471 {
 472   func_f_def   = func_f;
 473   func_fp_def  = func_fp;
 474   func_fpi_def = func_fpi;
 475 }
 476
 477 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 478 /* NOTE for Reno: all functions consider the network coefficient (alpha) equal to 1. */
 479
 480 /*
 481  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 482  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 483  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 484  */
 485 double func_vegas_f(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 486 {
 487   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 488   return VEGAS_SCALING * var.sharing_weight * log(x);
 489 }
 490
 491 double func_vegas_fp(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 492 {
 493   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 494   return VEGAS_SCALING * var.sharing_weight / x;
 495 }
 496
 497 double func_vegas_fpi(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 498 {
 499   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 500   return var.sharing_weight / (x / VEGAS_SCALING);
 501 }
 502
 503 /*
 504  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 505  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 506  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 507  */
 508 double func_reno_f(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 509 {
 510   xbt_assert(var.sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 511
 512   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var.sharing_weight * atan(sqrt(3.0 / 2.0) * var.sharing_weight * x);
 513 }
 514
 515 double func_reno_fp(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 516 {
 517   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var.sharing_weight * var.sharing_weight * x * x + 2.0);
 518 }
 519
 520 double func_reno_fpi(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 521 {
 522   double res_fpi;
 523
 524   xbt_assert(var.sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 525   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 526
 527   res_fpi = 1.0 / (var.sharing_weight * var.sharing_weight * (x / RENO_SCALING)) -
 528             2.0 / (3.0 * var.sharing_weight * var.sharing_weight);
 529   if (res_fpi <= 0.0)
 530     return 0.0;
 531   return sqrt(res_fpi);
 532 }
 533
 534 /* Implementing new Reno-2
 535  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 536  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 537  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 538  */
 539 double func_reno2_f(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 540 {
 541   xbt_assert(var.sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 542   return RENO2_SCALING * (1.0 / var.sharing_weight) *
 543          log((x * var.sharing_weight) / (2.0 * x * var.sharing_weight + 3.0));
 544 }
 545
 546 double func_reno2_fp(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 547 {
 548   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var.sharing_weight * x * (2.0 * var.sharing_weight * x + 3.0));
 549 }
 550
 551 double func_reno2_fpi(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 552 {
 553   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 554   double tmp     = x * var.sharing_weight * var.sharing_weight;
 555   double res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 556
 557   if (res_fpi <= 0.0)
 558     return 0.0;
 559
 560   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 561   return res_fpi;
 562 }
 563 }
 564 }
 565 }