src/kernel/lmm/lagrange.cpp

   1 /* Copyright (c) 2007-2017. The SimGrid Team. All rights reserved.          */
   2
   3 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   4  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   5
   6 /*
   7  * Modeling the proportional fairness using the Lagrangian Optimization Approach. For a detailed description see:
   8  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
   9  */
  10 #include "src/kernel/lmm/maxmin.hpp"
  11 #include "xbt/log.h"
  12 #include "xbt/sysdep.h"
  13
  14 #include <algorithm>
  15 #include <cstdlib>
  16 #ifndef MATH
  17 #include <cmath>
  18 #endif
  19
  20 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf, "Logging specific to SURF (lagrange)");
  21 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange, "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  22
  23 #define SHOW_EXPR(expr) XBT_CDEBUG(surf_lagrange, #expr " = %g", expr);
  24 #define VEGAS_SCALING 1000.0
  25 #define RENO_SCALING 1.0
  26 #define RENO2_SCALING 1.0
  27
  28 namespace simgrid {
  29 namespace kernel {
  30 namespace lmm {
  31
  32 double (*func_f_def)(const s_lmm_variable_t&, double);
  33 double (*func_fp_def)(const s_lmm_variable_t&, double);
  34 double (*func_fpi_def)(const s_lmm_variable_t&, double);
  35
  36 /*
  37  * Local prototypes to implement the Lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  38  */
  39 // solves the proportional fairness using a Lagrangian optimization with dichotomy step
  40 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  41 // computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  42 static double dichotomy(double init, double diff(double, const s_lmm_constraint_t&), const s_lmm_constraint_t& cnst,
  43                         double min_error);
  44 // computes the value of the differential of constraint cnst applied to lambda
  45 static double partial_diff_lambda(double lambda, const s_lmm_constraint_t& cnst);
  46
  47 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list, int warn)
  48 {
  49   void* _cnst;
  50   void* _elem;
  51   void* _var;
  52   xbt_swag_t elem_list  = nullptr;
  53   lmm_element_t elem    = nullptr;
  54   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
  55   lmm_variable_t var    = nullptr;
  56
  57   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
  58   {
  59     cnst       = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
  60     double tmp = 0;
  61     elem_list  = &(cnst->enabled_element_set);
  62     xbt_swag_foreach(_elem, elem_list)
  63     {
  64       elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
  65       var  = elem->variable;
  66       xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
  67       tmp += var->value;
  68     }
  69
  70     if (double_positive(tmp - cnst->bound, sg_maxmin_precision)) {
  71       if (warn)
  72         XBT_WARN("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f", cnst, cnst->bound, tmp);
  73       return 0;
  74     }
  75     XBT_DEBUG("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ", cnst, tmp - cnst->bound,
  76               cnst->lambda);
  77   }
  78
  79   xbt_swag_foreach(_var, var_list)
  80   {
  81     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
  82     if (not var->sharing_weight)
  83       break;
  84     if (var->bound < 0)
  85       continue;
  86     XBT_DEBUG("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var, var->value - var->bound, var->mu);
  87
  88     if (double_positive(var->value - var->bound, sg_maxmin_precision)) {
  89       if (warn)
  90         XBT_WARN("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f", var, var->bound, var->value);
  91       return 0;
  92     }
  93   }
  94   return 1;
  95 }
  96
  97 static double new_value(const s_lmm_variable_t& var)
  98 {
  99   double tmp = 0;
 100
 101   for (s_lmm_element_t const& elem : var.cnsts) {
 102     tmp += elem.constraint->lambda;
 103   }
 104   if (var.bound > 0)
 105     tmp += var.mu;
 106   XBT_DEBUG("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", &var, tmp, var.sharing_weight);
 107   // uses the partial differential inverse function
 108   return var.func_fpi(var, tmp);
 109 }
 110
 111 static double new_mu(const s_lmm_variable_t& var)
 112 {
 113   double mu_i    = 0.0;
 114   double sigma_i = 0.0;
 115
 116   for (s_lmm_element_t const& elem : var.cnsts) {
 117     sigma_i += elem.constraint->lambda;
 118   }
 119   mu_i = var.func_fp(var, var.bound) - sigma_i;
 120   if (mu_i < 0.0)
 121     return 0.0;
 122   return mu_i;
 123 }
 124
 125 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 126 {
 127   void* _cnst;
 128   void* _var;
 129   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 130   lmm_variable_t var    = nullptr;
 131
 132   double obj = 0.0;
 133
 134   xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 135   {
 136     var            = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 137     double sigma_i = 0.0;
 138
 139     if (not var->sharing_weight)
 140       break;
 141
 142     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts)
 143       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 144
 145     if (var->bound > 0)
 146       sigma_i += var->mu;
 147
 148     XBT_DEBUG("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 149
 150     obj += var->func_f(*var, var->func_fpi(*var, sigma_i)) - sigma_i * var->func_fpi(*var, sigma_i);
 151
 152     if (var->bound > 0)
 153       obj += var->mu * var->bound;
 154   }
 155
 156   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
 157   {
 158     cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 159     obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 160   }
 161
 162   return obj;
 163 }
 164
 165 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 166 {
 167   /* Lagrange Variables. */
 168   int max_iterations       = 100;
 169   double epsilon_min_error = 0.00001; /* this is the precision on the objective function so it's none of the
 170                                          configurable values and this value is the legacy one */
 171   double dichotomy_min_error  = 1e-14;
 172   double overall_modification = 1;
 173
 174   XBT_DEBUG("Iterative method configuration snapshot =====>");
 175   XBT_DEBUG("#### Maximum number of iterations        : %d", max_iterations);
 176   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated             : %e", epsilon_min_error);
 177   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e", dichotomy_min_error);
 178
 179   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 180     sys->print();
 181   }
 182
 183   if (not sys->modified)
 184     return;
 185
 186   /* Initialize lambda. */
 187   xbt_swag_t cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 188   void* _cnst;
 189   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
 190   {
 191     lmm_constraint_t cnst = (lmm_constraint_t)_cnst;
 192     cnst->lambda          = 1.0;
 193     cnst->new_lambda      = 2.0;
 194     XBT_DEBUG("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 195   }
 196
 197   /*
 198    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 199    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 200    */
 201   xbt_swag_t var_list = &(sys->variable_set);
 202   void* _var;
 203   xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 204   {
 205     lmm_variable_t var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 206     if (not var->sharing_weight)
 207       var->value = 0.0;
 208     else {
 209       if (var->bound < 0.0) {
 210         XBT_DEBUG("#### NOTE var(%p) is a boundless variable", var);
 211         var->mu = -1.0;
 212       } else {
 213         var->mu     = 1.0;
 214         var->new_mu = 2.0;
 215       }
 216       var->value = new_value(*var);
 217       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->sharing_weight);
 218       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 219       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->sharing_weight);
 220       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 221       auto weighted = std::find_if(begin(var->cnsts), end(var->cnsts),
 222                                    [](s_lmm_element_t const& x) { return x.consumption_weight != 0.0; });
 223       if (weighted == end(var->cnsts))
 224         var->value = 1.0;
 225     }
 226   }
 227
 228   /*  Compute dual objective. */
 229   double obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 230
 231   /* While doesn't reach a minimum error or a number maximum of iterations. */
 232   int iteration = 0;
 233   while (overall_modification > epsilon_min_error && iteration < max_iterations) {
 234     iteration++;
 235     XBT_DEBUG("************** ITERATION %d **************", iteration);
 236     XBT_DEBUG("-------------- Gradient Descent ----------");
 237
 238     /* Improve the value of mu_i */
 239     xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 240     {
 241       lmm_variable_t var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 242       if (var->sharing_weight && var->bound >= 0) {
 243         XBT_DEBUG("Working on var (%p)", var);
 244         var->new_mu = new_mu(*var);
 245         XBT_DEBUG("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var, var->mu, var->new_mu);
 246         var->mu = var->new_mu;
 247
 248         double new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 249         XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 250         xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 251         obj = new_obj;
 252       }
 253     }
 254
 255     /* Improve the value of lambda_i */
 256     xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list)
 257     {
 258       lmm_constraint_t cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 259       XBT_DEBUG("Working on cnst (%p)", cnst);
 260       cnst->new_lambda = dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, *cnst, dichotomy_min_error);
 261       XBT_DEBUG("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f", cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 262       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 263
 264       double new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 265       XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 266       xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 267       obj = new_obj;
 268     }
 269
 270     /* Now computes the values of each variable (\rho) based on the values of \lambda and \mu. */
 271     XBT_DEBUG("-------------- Check convergence ----------");
 272     overall_modification = 0;
 273     xbt_swag_foreach(_var, var_list)
 274     {
 275       lmm_variable_t var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 276       if (var->sharing_weight <= 0)
 277         var->value = 0.0;
 278       else {
 279         double tmp = new_value(*var);
 280
 281         overall_modification = std::max(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 282
 283         var->value = tmp;
 284         XBT_DEBUG("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e", var, var->value, overall_modification);
 285       }
 286     }
 287
 288     XBT_DEBUG("-------------- Check feasability ----------");
 289     if (not __check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 290       overall_modification = 1.0;
 291     XBT_DEBUG("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration, overall_modification);
 292   }
 293
 294   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 295
 296   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 297     XBT_DEBUG("The method converges in %d iterations.", iteration);
 298   }
 299   if (iteration >= max_iterations) {
 300     XBT_DEBUG("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.", iteration);
 301   }
 302
 303   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 304     sys->print();
 305   }
 306 }
 307
 308 /*
 309  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy process with respect to a given
 310  * variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in case of a constraint) and a initial value init.
 311  *
 312  * @param init initial value for \mu or \lambda
 313  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 314  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 315  * @param min_erro a minimum error tolerated
 316  *
 317  * @return a double corresponding to the result of the dichotomy process
 318  */
 319 static double dichotomy(double init, double diff(double, const s_lmm_constraint_t&), const s_lmm_constraint_t& cnst,
 320                         double min_error)
 321 {
 322   double min = init;
 323   double max = init;
 324   double overall_error;
 325   double middle;
 326   double middle_diff;
 327   double diff_0 = 0.0;
 328
 329   XBT_IN();
 330
 331   if (fabs(init) < 1e-20) {
 332     min = 0.5;
 333     max = 0.5;
 334   }
 335
 336   overall_error = 1;
 337
 338   diff_0 = diff(1e-16, cnst);
 339   if (diff_0 >= 0) {
 340     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 341     XBT_OUT();
 342     return 0.0;
 343   }
 344
 345   double min_diff = diff(min, cnst);
 346   double max_diff = diff(max, cnst);
 347
 348   while (overall_error > min_error) {
 349     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f", min, max,
 350                min_diff, max_diff);
 351
 352     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 353       if (min == max) {
 354         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 355         min      = min / 2.0;
 356         min_diff = diff(min, cnst);
 357       } else {
 358         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 359         max      = min;
 360         max_diff = min_diff;
 361       }
 362     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 363       if (min == max) {
 364         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 365         max      = max * 2.0;
 366         max_diff = diff(max, cnst);
 367       } else {
 368         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 369         min      = max;
 370         min_diff = max_diff;
 371       }
 372     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 373       middle = (max + min) / 2.0;
 374       XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f", middle);
 375
 376       if ((fabs(min - middle) < 1e-20) || (fabs(max - middle) < 1e-20)) {
 377         XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 378                   "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 379                   " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 380                   min, max - min, min_diff, max_diff);
 381         break;
 382       }
 383       middle_diff = diff(middle, cnst);
 384
 385       if (middle_diff < 0) {
 386         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 387         min           = middle;
 388         overall_error = max_diff - middle_diff;
 389         min_diff      = middle_diff;
 390       } else if (middle_diff > 0) {
 391         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 392         max           = middle;
 393         overall_error = max_diff - middle_diff;
 394         max_diff      = middle_diff;
 395       } else {
 396         overall_error = 0;
 397       }
 398     } else if (fabs(min_diff) < 1e-20) {
 399       max           = min;
 400       overall_error = 0;
 401     } else if (fabs(max_diff) < 1e-20) {
 402       min           = max;
 403       overall_error = 0;
 404     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 405       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 406       xbt_abort();
 407     } else {
 408       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 409                 "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.", min_diff,
 410                 max_diff);
 411       xbt_abort();
 412     }
 413   }
 414
 415   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 416   XBT_OUT();
 417   return ((min + max) / 2.0);
 418 }
 419
 420 static double partial_diff_lambda(double lambda, const s_lmm_constraint_t& cnst)
 421 {
 422   double diff           = 0.0;
 423
 424   XBT_IN();
 425
 426   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", &cnst);
 427
 428   const_xbt_swag_t elem_list = &cnst.enabled_element_set;
 429   void* _elem;
 430   xbt_swag_foreach(_elem, elem_list)
 431   {
 432     lmm_element_t elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
 433     lmm_variable_t var = elem->variable;
 434     xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
 435     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)", var);
 436     // Initialize the summation variable
 437     double sigma_i = 0.0;
 438
 439     // Compute sigma_i
 440     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 441       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 442     }
 443
 444     // add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 445     if (var->bound > 0)
 446       sigma_i += var->mu;
 447
 448     // replace value of cnst.lambda by the value of parameter lambda
 449     sigma_i = (sigma_i - cnst.lambda) + lambda;
 450
 451     diff += -var->func_fpi(*var, sigma_i);
 452   }
 453
 454   diff += cnst.bound;
 455
 456   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", &cnst, lambda, diff);
 457   XBT_OUT();
 458   return diff;
 459 }
 460
 461 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 462  *
 463  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 464  *
 465  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polymorphism in C pure, enjoy the roots of
 466  *  programming.
 467  *
 468  */
 469 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f)(const s_lmm_variable_t& var, double x),
 470                                        double (*func_fp)(const s_lmm_variable_t& var, double x),
 471                                        double (*func_fpi)(const s_lmm_variable_t& var, double x))
 472 {
 473   func_f_def   = func_f;
 474   func_fp_def  = func_fp;
 475   func_fpi_def = func_fpi;
 476 }
 477
 478 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 479 /* NOTE for Reno: all functions consider the network coefficient (alpha) equal to 1. */
 480
 481 /*
 482  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 483  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 484  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 485  */
 486 double func_vegas_f(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 487 {
 488   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 489   return VEGAS_SCALING * var.sharing_weight * log(x);
 490 }
 491
 492 double func_vegas_fp(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 493 {
 494   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 495   return VEGAS_SCALING * var.sharing_weight / x;
 496 }
 497
 498 double func_vegas_fpi(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 499 {
 500   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 501   return var.sharing_weight / (x / VEGAS_SCALING);
 502 }
 503
 504 /*
 505  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 506  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 507  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 508  */
 509 double func_reno_f(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 510 {
 511   xbt_assert(var.sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 512
 513   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var.sharing_weight * atan(sqrt(3.0 / 2.0) * var.sharing_weight * x);
 514 }
 515
 516 double func_reno_fp(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 517 {
 518   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var.sharing_weight * var.sharing_weight * x * x + 2.0);
 519 }
 520
 521 double func_reno_fpi(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 522 {
 523   double res_fpi;
 524
 525   xbt_assert(var.sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 526   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 527
 528   res_fpi = 1.0 / (var.sharing_weight * var.sharing_weight * (x / RENO_SCALING)) -
 529             2.0 / (3.0 * var.sharing_weight * var.sharing_weight);
 530   if (res_fpi <= 0.0)
 531     return 0.0;
 532   return sqrt(res_fpi);
 533 }
 534
 535 /* Implementing new Reno-2
 536  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 537  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 538  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 539  */
 540 double func_reno2_f(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 541 {
 542   xbt_assert(var.sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 543   return RENO2_SCALING * (1.0 / var.sharing_weight) *
 544          log((x * var.sharing_weight) / (2.0 * x * var.sharing_weight + 3.0));
 545 }
 546
 547 double func_reno2_fp(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 548 {
 549   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var.sharing_weight * x * (2.0 * var.sharing_weight * x + 3.0));
 550 }
 551
 552 double func_reno2_fpi(const s_lmm_variable_t& var, double x)
 553 {
 554   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 555   double tmp     = x * var.sharing_weight * var.sharing_weight;
 556   double res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 557
 558   if (res_fpi <= 0.0)
 559     return 0.0;
 560
 561   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 562   return res_fpi;
 563 }
 564 }
 565 }
 566 }