src/surf/lagrange.cpp

   1 /* Copyright (c) 2007-2017. The SimGrid Team. All rights reserved.          */
   2
   3 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   4  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   5
   6 /*
   7  * Modeling the proportional fairness using the Lagrangian Optimization Approach. For a detailed description see:
   8  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
   9  */
  10 #include "xbt/log.h"
  11 #include "xbt/sysdep.h"
  12 #include "maxmin_private.hpp"
  13
  14 #include <cstdlib>
  15 #ifndef MATH
  16 #include <cmath>
  17 #endif
  18
  19 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf, "Logging specific to SURF (lagrange)");
  20 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange, "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  21
  22 #define SHOW_EXPR(expr) XBT_CDEBUG(surf_lagrange,#expr " = %g",expr);
  23
  24 double (*func_f_def) (lmm_variable_t, double);
  25 double (*func_fp_def) (lmm_variable_t, double);
  26 double (*func_fpi_def) (lmm_variable_t, double);
  27
  28 /*
  29  * Local prototypes to implement the Lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  30  */
  31 //solves the proportional fairness using a Lagrangian optimization with dichotomy step
  32 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  33 //computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  34 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *), void *var_cnst, double min_error);
  35 //computes the value of the differential of constraint param_cnst applied to lambda
  36 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst);
  37
  38 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list, int warn)
  39 {
  40   void* _cnst;
  41   void* _elem;
  42   void* _var;
  43   xbt_swag_t elem_list = nullptr;
  44   lmm_element_t elem = nullptr;
  45   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
  46   lmm_variable_t var = nullptr;
  47
  48   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
  49     cnst       = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
  50     double tmp = 0;
  51     elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
  52     xbt_swag_foreach(_elem, elem_list) {
  53       elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
  54       var = elem->variable;
  55       xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
  56       tmp += var->value;
  57     }
  58
  59     if (double_positive(tmp - cnst->bound, sg_maxmin_precision)) {
  60       if (warn)
  61         XBT_WARN ("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f", cnst, cnst->bound, tmp);
  62       return 0;
  63     }
  64     XBT_DEBUG ("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ", cnst, tmp - cnst->bound,
  65                cnst->lambda);
  66   }
  67
  68   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
  69     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
  70     if (not var->sharing_weight)
  71       break;
  72     if (var->bound < 0)
  73       continue;
  74     XBT_DEBUG("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var, var->value - var->bound, var->mu);
  75
  76     if (double_positive(var->value - var->bound, sg_maxmin_precision)) {
  77       if (warn)
  78         XBT_WARN ("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f", var, var->bound, var->value);
  79       return 0;
  80     }
  81   }
  82   return 1;
  83 }
  84
  85 static double new_value(lmm_variable_t var)
  86 {
  87   double tmp = 0;
  88
  89   for (int i = 0; i < var->cnsts_number; i++) {
  90     tmp += (var->cnsts[i].constraint)->lambda;
  91   }
  92   if (var->bound > 0)
  93     tmp += var->mu;
  94   XBT_DEBUG("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", var, tmp, var->sharing_weight);
  95   //uses the partial differential inverse function
  96   return var->func_fpi(var, tmp);
  97 }
  98
  99 static double new_mu(lmm_variable_t var)
 100 {
 101   double mu_i = 0.0;
 102   double sigma_i = 0.0;
 103
 104   for (int j = 0; j < var->cnsts_number; j++) {
 105     sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 106   }
 107   mu_i = var->func_fp(var, var->bound) - sigma_i;
 108   if (mu_i < 0.0)
 109     return 0.0;
 110   return mu_i;
 111 }
 112
 113 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 114 {
 115   void *_cnst;
 116   void *_var;
 117   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 118   lmm_variable_t var = nullptr;
 119
 120   double obj = 0.0;
 121
 122   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 123     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 124     double sigma_i = 0.0;
 125
 126     if (not var->sharing_weight)
 127       break;
 128
 129     for (int j = 0; j < var->cnsts_number; j++)
 130       sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 131
 132     if (var->bound > 0)
 133       sigma_i += var->mu;
 134
 135     XBT_DEBUG("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 136
 137     obj += var->func_f(var, var->func_fpi(var, sigma_i)) - sigma_i * var->func_fpi(var, sigma_i);
 138
 139     if (var->bound > 0)
 140       obj += var->mu * var->bound;
 141   }
 142
 143   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 144     cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 145     obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 146   }
 147
 148   return obj;
 149 }
 150
 151 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 152 {
 153   /* Lagrange Variables. */
 154   int max_iterations = 100;
 155   double epsilon_min_error = 0.00001; /* this is the precision on the objective function so it's none of the configurable values and this value is the legacy one */
 156   double dichotomy_min_error = 1e-14;
 157   double overall_modification = 1;
 158
 159   /* Variables to manipulate the data structure proposed to model the maxmin fairness. See documentation for details. */
 160   xbt_swag_t cnst_list = nullptr;
 161   void *_cnst;
 162   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 163
 164   xbt_swag_t var_list = nullptr;
 165   void *_var;
 166   lmm_variable_t var = nullptr;
 167
 168   /* Auxiliary variables. */
 169   int iteration = 0;
 170   double tmp = 0;
 171   int i;
 172   double obj;
 173   double new_obj;
 174
 175   XBT_DEBUG("Iterative method configuration snapshot =====>");
 176   XBT_DEBUG("#### Maximum number of iterations        : %d", max_iterations);
 177   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated             : %e", epsilon_min_error);
 178   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e", dichotomy_min_error);
 179
 180   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 181     lmm_print(sys);
 182   }
 183
 184   if (not sys->modified)
 185     return;
 186
 187   /* Initialize lambda. */
 188   cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 189   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 190   cnst = (lmm_constraint_t)_cnst;
 191     cnst->lambda = 1.0;
 192     cnst->new_lambda = 2.0;
 193     XBT_DEBUG("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 194   }
 195
 196   /*
 197    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 198    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 199    */
 200   var_list = &(sys->variable_set);
 201   i = 0;
 202   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 203   var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 204   if (not var->sharing_weight)
 205     var->value = 0.0;
 206   else {
 207     int nb = 0;
 208     if (var->bound < 0.0) {
 209       XBT_DEBUG("#### NOTE var(%d) is a boundless variable", i);
 210       var->mu    = -1.0;
 211       var->value = new_value(var);
 212     } else {
 213       var->mu     = 1.0;
 214       var->new_mu = 2.0;
 215       var->value  = new_value(var);
 216     }
 217     XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->sharing_weight);
 218     XBT_DEBUG("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 219     XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->sharing_weight);
 220     XBT_DEBUG("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 221     for (i = 0; i < var->cnsts_number; i++) {
 222       if (var->cnsts[i].consumption_weight == 0.0)
 223         nb++;
 224     }
 225     if (nb == var->cnsts_number)
 226       var->value = 1.0;
 227     }
 228   }
 229
 230   /*  Compute dual objective. */
 231   obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 232
 233   /* While doesn't reach a minimum error or a number maximum of iterations. */
 234   while (overall_modification > epsilon_min_error && iteration < max_iterations) {
 235     iteration++;
 236     XBT_DEBUG("************** ITERATION %d **************", iteration);
 237     XBT_DEBUG("-------------- Gradient Descent ----------");
 238
 239     /* Improve the value of mu_i */
 240     xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 241       var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 242       if (not var->sharing_weight)
 243         break;
 244       if (var->bound >= 0) {
 245         XBT_DEBUG("Working on var (%p)", var);
 246         var->new_mu = new_mu(var);
 247         XBT_DEBUG("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var, var->mu, var->new_mu);
 248         var->mu = var->new_mu;
 249
 250         new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 251         XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 252         xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 253         obj = new_obj;
 254       }
 255     }
 256
 257     /* Improve the value of lambda_i */
 258     xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 259       cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 260       XBT_DEBUG("Working on cnst (%p)", cnst);
 261       cnst->new_lambda = dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, cnst, dichotomy_min_error);
 262       XBT_DEBUG("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f", cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 263       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 264
 265       new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 266       XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 267       xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 268       obj = new_obj;
 269     }
 270
 271     /* Now computes the values of each variable (\rho) based on the values of \lambda and \mu. */
 272     XBT_DEBUG("-------------- Check convergence ----------");
 273     overall_modification = 0;
 274     xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 275       var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 276       if (var->sharing_weight <= 0)
 277         var->value = 0.0;
 278       else {
 279         tmp = new_value(var);
 280
 281         overall_modification = MAX(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 282
 283         var->value = tmp;
 284         XBT_DEBUG("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e", var, var->value, overall_modification);
 285       }
 286     }
 287
 288     XBT_DEBUG("-------------- Check feasability ----------");
 289     if (not __check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 290       overall_modification = 1.0;
 291     XBT_DEBUG("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration, overall_modification);
 292   }
 293
 294   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 295
 296   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 297     XBT_DEBUG("The method converges in %d iterations.", iteration);
 298   }
 299   if (iteration >= max_iterations) {
 300     XBT_DEBUG ("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.", iteration);
 301   }
 302
 303   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 304     lmm_print(sys);
 305   }
 306 }
 307
 308 /*
 309  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy process with respect to a given
 310  * variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in case of a constraint) and a initial value init.
 311  *
 312  * @param init initial value for \mu or \lambda
 313  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 314  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 315  * @param min_erro a minimum error tolerated
 316  *
 317  * @return a double corresponding to the result of the dichotomy process
 318  */
 319 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *), void *var_cnst, double min_error)
 320 {
 321   double min =init;
 322   double max= init;
 323   double overall_error;
 324   double middle;
 325   double middle_diff;
 326   double diff_0 = 0.0;
 327
 328   XBT_IN();
 329
 330   if (fabs(init) < 1e-20) {
 331     min = 0.5;
 332     max = 0.5;
 333   }
 334
 335   overall_error = 1;
 336
 337   diff_0 = diff(1e-16, var_cnst);
 338   if (diff_0 >= 0) {
 339     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 340     XBT_OUT();
 341     return 0.0;
 342   }
 343
 344   double min_diff = diff(min, var_cnst);
 345   double max_diff = diff(max, var_cnst);
 346
 347   while (overall_error > min_error) {
 348     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f",
 349                min, max, min_diff, max_diff);
 350
 351     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 352       if (min == max) {
 353         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 354         min = min / 2.0;
 355         min_diff = diff(min, var_cnst);
 356       } else {
 357         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 358         max = min;
 359         max_diff = min_diff;
 360       }
 361     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 362       if (min == max) {
 363         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 364         max = max * 2.0;
 365         max_diff = diff(max, var_cnst);
 366       } else {
 367         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 368         min = max;
 369         min_diff = max_diff;
 370       }
 371     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 372       middle = (max + min) / 2.0;
 373       XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f", middle);
 374
 375       if ((fabs(min - middle) < 1e-20) || (fabs(max - middle) < 1e-20)){
 376         XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 377                   " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 378                   min, max - min, min_diff, max_diff);
 379         break;
 380       }
 381       middle_diff = diff(middle, var_cnst);
 382
 383       if (middle_diff < 0) {
 384         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 385         min = middle;
 386         overall_error = max_diff - middle_diff;
 387         min_diff = middle_diff;
 388       } else if (middle_diff > 0) {
 389         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 390         max = middle;
 391         overall_error = max_diff - middle_diff;
 392         max_diff = middle_diff;
 393       } else {
 394         overall_error = 0;
 395       }
 396     } else if (fabs(min_diff) < 1e-20) {
 397       max = min;
 398       overall_error = 0;
 399     } else if (fabs(max_diff) < 1e-20) {
 400       min = max;
 401       overall_error = 0;
 402     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 403       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 404       xbt_abort();
 405     } else {
 406       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 407              "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.",
 408              min_diff, max_diff);
 409       xbt_abort();
 410     }
 411   }
 412
 413   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 414   XBT_OUT();
 415   return ((min + max) / 2.0);
 416 }
 417
 418 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst)
 419 {
 420   lmm_constraint_t cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(param_cnst);
 421   double diff = 0.0;
 422
 423   XBT_IN();
 424
 425   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", cnst);
 426
 427   xbt_swag_t elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
 428   void* _elem;
 429   xbt_swag_foreach(_elem, elem_list) {
 430     lmm_element_t elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
 431     lmm_variable_t var = elem->variable;
 432     xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
 433     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)", var);
 434     // Initialize the summation variable
 435     double sigma_i = 0.0;
 436
 437     // Compute sigma_i
 438     for (int j = 0; j < var->cnsts_number; j++) {
 439       sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 440     }
 441
 442     //add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 443     if (var->bound > 0)
 444       sigma_i += var->mu;
 445
 446     //replace value of cnst->lambda by the value of parameter lambda
 447     sigma_i = (sigma_i - cnst->lambda) + lambda;
 448
 449     diff += -var->func_fpi(var, sigma_i);
 450   }
 451
 452   diff += cnst->bound;
 453
 454   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", cnst, lambda, diff);
 455   XBT_OUT();
 456   return diff;
 457 }
 458
 459 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 460  *
 461  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 462  *
 463  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polymorphism in C pure, enjoy the roots of
 464  *  programming.
 465  *
 466  */
 467 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f) (lmm_variable_t var, double x),
 468                                        double (*func_fp) (lmm_variable_t var, double x),
 469                                        double (*func_fpi) (lmm_variable_t var, double x))
 470 {
 471   func_f_def = func_f;
 472   func_fp_def = func_fp;
 473   func_fpi_def = func_fpi;
 474 }
 475
 476 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 477 /* NOTE for Reno: all functions consider the network coefficient (alpha) equal to 1. */
 478
 479 /*
 480  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 481  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 482  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 483  */
 484 #define VEGAS_SCALING 1000.0
 485
 486 double func_vegas_f(lmm_variable_t var, double x)
 487 {
 488   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 489   return VEGAS_SCALING * var->sharing_weight * log(x);
 490 }
 491
 492 double func_vegas_fp(lmm_variable_t var, double x)
 493 {
 494   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 495   return VEGAS_SCALING * var->sharing_weight / x;
 496 }
 497
 498 double func_vegas_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 499 {
 500   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 501   return var->sharing_weight / (x / VEGAS_SCALING);
 502 }
 503
 504 /*
 505  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 506  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 507  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 508  */
 509 #define RENO_SCALING 1.0
 510 double func_reno_f(lmm_variable_t var, double x)
 511 {
 512   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 513
 514   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var->sharing_weight * atan(sqrt(3.0 / 2.0) * var->sharing_weight * x);
 515 }
 516
 517 double func_reno_fp(lmm_variable_t var, double x)
 518 {
 519   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var->sharing_weight * var->sharing_weight * x * x + 2.0);
 520 }
 521
 522 double func_reno_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 523 {
 524   double res_fpi;
 525
 526   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 527   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 528
 529   res_fpi = 1.0 / (var->sharing_weight * var->sharing_weight * (x / RENO_SCALING)) -
 530             2.0 / (3.0 * var->sharing_weight * var->sharing_weight);
 531   if (res_fpi <= 0.0)
 532     return 0.0;
 533   return sqrt(res_fpi);
 534 }
 535
 536 /* Implementing new Reno-2
 537  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 538  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 539  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 540  */
 541 #define RENO2_SCALING 1.0
 542 double func_reno2_f(lmm_variable_t var, double x)
 543 {
 544   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 545   return RENO2_SCALING * (1.0 / var->sharing_weight) *
 546          log((x * var->sharing_weight) / (2.0 * x * var->sharing_weight + 3.0));
 547 }
 548
 549 double func_reno2_fp(lmm_variable_t var, double x)
 550 {
 551   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var->sharing_weight * x * (2.0 * var->sharing_weight * x + 3.0));
 552 }
 553
 554 double func_reno2_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 555 {
 556   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 557   double tmp     = x * var->sharing_weight * var->sharing_weight;
 558   double res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 559
 560   if (res_fpi <= 0.0)
 561     return 0.0;
 562
 563   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 564   return res_fpi;
 565 }