src/surf/lagrange.cpp

   1 /* Copyright (c) 2007-2017. The SimGrid Team. All rights reserved.          */
   2
   3 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   4  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   5
   6 /*
   7  * Modeling the proportional fairness using the Lagrangian Optimization Approach. For a detailed description see:
   8  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
   9  */
  10 #include "xbt/log.h"
  11 #include "xbt/sysdep.h"
  12 #include "maxmin_private.hpp"
  13
  14 #include <algorithm>
  15 #include <cstdlib>
  16 #ifndef MATH
  17 #include <cmath>
  18 #endif
  19
  20 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf, "Logging specific to SURF (lagrange)");
  21 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange, "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  22
  23 #define SHOW_EXPR(expr) XBT_CDEBUG(surf_lagrange,#expr " = %g",expr);
  24
  25 double (*func_f_def) (lmm_variable_t, double);
  26 double (*func_fp_def) (lmm_variable_t, double);
  27 double (*func_fpi_def) (lmm_variable_t, double);
  28
  29 /*
  30  * Local prototypes to implement the Lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  31  */
  32 //solves the proportional fairness using a Lagrangian optimization with dichotomy step
  33 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  34 //computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  35 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *), void *var_cnst, double min_error);
  36 //computes the value of the differential of constraint param_cnst applied to lambda
  37 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst);
  38
  39 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list, int warn)
  40 {
  41   void* _cnst;
  42   void* _elem;
  43   void* _var;
  44   xbt_swag_t elem_list = nullptr;
  45   lmm_element_t elem = nullptr;
  46   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
  47   lmm_variable_t var = nullptr;
  48
  49   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
  50     cnst       = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
  51     double tmp = 0;
  52     elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
  53     xbt_swag_foreach(_elem, elem_list) {
  54       elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
  55       var = elem->variable;
  56       xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
  57       tmp += var->value;
  58     }
  59
  60     if (double_positive(tmp - cnst->bound, sg_maxmin_precision)) {
  61       if (warn)
  62         XBT_WARN ("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f", cnst, cnst->bound, tmp);
  63       return 0;
  64     }
  65     XBT_DEBUG ("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ", cnst, tmp - cnst->bound,
  66                cnst->lambda);
  67   }
  68
  69   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
  70     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
  71     if (not var->sharing_weight)
  72       break;
  73     if (var->bound < 0)
  74       continue;
  75     XBT_DEBUG("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var, var->value - var->bound, var->mu);
  76
  77     if (double_positive(var->value - var->bound, sg_maxmin_precision)) {
  78       if (warn)
  79         XBT_WARN ("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f", var, var->bound, var->value);
  80       return 0;
  81     }
  82   }
  83   return 1;
  84 }
  85
  86 static double new_value(lmm_variable_t var)
  87 {
  88   double tmp = 0;
  89
  90   for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
  91     tmp += elem.constraint->lambda;
  92   }
  93   if (var->bound > 0)
  94     tmp += var->mu;
  95   XBT_DEBUG("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", var, tmp, var->sharing_weight);
  96   //uses the partial differential inverse function
  97   return var->func_fpi(var, tmp);
  98 }
  99
 100 static double new_mu(lmm_variable_t var)
 101 {
 102   double mu_i = 0.0;
 103   double sigma_i = 0.0;
 104
 105   for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 106     sigma_i += elem.constraint->lambda;
 107   }
 108   mu_i = var->func_fp(var, var->bound) - sigma_i;
 109   if (mu_i < 0.0)
 110     return 0.0;
 111   return mu_i;
 112 }
 113
 114 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 115 {
 116   void *_cnst;
 117   void *_var;
 118   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 119   lmm_variable_t var = nullptr;
 120
 121   double obj = 0.0;
 122
 123   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 124     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 125     double sigma_i = 0.0;
 126
 127     if (not var->sharing_weight)
 128       break;
 129
 130     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts)
 131       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 132
 133     if (var->bound > 0)
 134       sigma_i += var->mu;
 135
 136     XBT_DEBUG("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 137
 138     obj += var->func_f(var, var->func_fpi(var, sigma_i)) - sigma_i * var->func_fpi(var, sigma_i);
 139
 140     if (var->bound > 0)
 141       obj += var->mu * var->bound;
 142   }
 143
 144   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 145     cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 146     obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 147   }
 148
 149   return obj;
 150 }
 151
 152 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 153 {
 154   /* Lagrange Variables. */
 155   int max_iterations = 100;
 156   double epsilon_min_error = 0.00001; /* this is the precision on the objective function so it's none of the configurable values and this value is the legacy one */
 157   double dichotomy_min_error = 1e-14;
 158   double overall_modification = 1;
 159
 160   /* Variables to manipulate the data structure proposed to model the maxmin fairness. See documentation for details. */
 161   xbt_swag_t cnst_list = nullptr;
 162   void *_cnst;
 163   lmm_constraint_t cnst = nullptr;
 164
 165   xbt_swag_t var_list = nullptr;
 166   void *_var;
 167   lmm_variable_t var = nullptr;
 168
 169   /* Auxiliary variables. */
 170   int iteration = 0;
 171   double tmp = 0;
 172   int i;
 173   double obj;
 174   double new_obj;
 175
 176   XBT_DEBUG("Iterative method configuration snapshot =====>");
 177   XBT_DEBUG("#### Maximum number of iterations        : %d", max_iterations);
 178   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated             : %e", epsilon_min_error);
 179   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e", dichotomy_min_error);
 180
 181   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 182     sys->print();
 183   }
 184
 185   if (not sys->modified)
 186     return;
 187
 188   /* Initialize lambda. */
 189   cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 190   xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 191   cnst = (lmm_constraint_t)_cnst;
 192     cnst->lambda = 1.0;
 193     cnst->new_lambda = 2.0;
 194     XBT_DEBUG("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 195   }
 196
 197   /*
 198    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 199    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 200    */
 201   var_list = &(sys->variable_set);
 202   i = 0;
 203   xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 204     var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 205     if (not var->sharing_weight)
 206       var->value = 0.0;
 207     else {
 208       if (var->bound < 0.0) {
 209         XBT_DEBUG("#### NOTE var(%d) is a boundless variable", i);
 210         var->mu    = -1.0;
 211         var->value = new_value(var);
 212       } else {
 213         var->mu     = 1.0;
 214         var->new_mu = 2.0;
 215         var->value  = new_value(var);
 216       }
 217       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->sharing_weight);
 218       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 219       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->sharing_weight);
 220       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 221       auto weighted = std::find_if(begin(var->cnsts), end(var->cnsts),
 222                                    [](s_lmm_element_t const& x) { return x.consumption_weight != 0.0; });
 223       if (weighted == end(var->cnsts))
 224         var->value = 1.0;
 225     }
 226   }
 227
 228   /*  Compute dual objective. */
 229   obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 230
 231   /* While doesn't reach a minimum error or a number maximum of iterations. */
 232   while (overall_modification > epsilon_min_error && iteration < max_iterations) {
 233     iteration++;
 234     XBT_DEBUG("************** ITERATION %d **************", iteration);
 235     XBT_DEBUG("-------------- Gradient Descent ----------");
 236
 237     /* Improve the value of mu_i */
 238     xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 239       var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 240       if (not var->sharing_weight)
 241         break;
 242       if (var->bound >= 0) {
 243         XBT_DEBUG("Working on var (%p)", var);
 244         var->new_mu = new_mu(var);
 245         XBT_DEBUG("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var, var->mu, var->new_mu);
 246         var->mu = var->new_mu;
 247
 248         new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 249         XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 250         xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 251         obj = new_obj;
 252       }
 253     }
 254
 255     /* Improve the value of lambda_i */
 256     xbt_swag_foreach(_cnst, cnst_list) {
 257       cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(_cnst);
 258       XBT_DEBUG("Working on cnst (%p)", cnst);
 259       cnst->new_lambda = dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, cnst, dichotomy_min_error);
 260       XBT_DEBUG("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f", cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 261       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 262
 263       new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 264       XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj, obj - new_obj);
 265       xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error, "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 266       obj = new_obj;
 267     }
 268
 269     /* Now computes the values of each variable (\rho) based on the values of \lambda and \mu. */
 270     XBT_DEBUG("-------------- Check convergence ----------");
 271     overall_modification = 0;
 272     xbt_swag_foreach(_var, var_list) {
 273       var = static_cast<lmm_variable_t>(_var);
 274       if (var->sharing_weight <= 0)
 275         var->value = 0.0;
 276       else {
 277         tmp = new_value(var);
 278
 279         overall_modification = std::max(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 280
 281         var->value = tmp;
 282         XBT_DEBUG("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e", var, var->value, overall_modification);
 283       }
 284     }
 285
 286     XBT_DEBUG("-------------- Check feasability ----------");
 287     if (not __check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 288       overall_modification = 1.0;
 289     XBT_DEBUG("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration, overall_modification);
 290   }
 291
 292   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 293
 294   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 295     XBT_DEBUG("The method converges in %d iterations.", iteration);
 296   }
 297   if (iteration >= max_iterations) {
 298     XBT_DEBUG ("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.", iteration);
 299   }
 300
 301   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 302     sys->print();
 303   }
 304 }
 305
 306 /*
 307  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy process with respect to a given
 308  * variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in case of a constraint) and a initial value init.
 309  *
 310  * @param init initial value for \mu or \lambda
 311  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 312  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 313  * @param min_erro a minimum error tolerated
 314  *
 315  * @return a double corresponding to the result of the dichotomy process
 316  */
 317 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *), void *var_cnst, double min_error)
 318 {
 319   double min =init;
 320   double max= init;
 321   double overall_error;
 322   double middle;
 323   double middle_diff;
 324   double diff_0 = 0.0;
 325
 326   XBT_IN();
 327
 328   if (fabs(init) < 1e-20) {
 329     min = 0.5;
 330     max = 0.5;
 331   }
 332
 333   overall_error = 1;
 334
 335   diff_0 = diff(1e-16, var_cnst);
 336   if (diff_0 >= 0) {
 337     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 338     XBT_OUT();
 339     return 0.0;
 340   }
 341
 342   double min_diff = diff(min, var_cnst);
 343   double max_diff = diff(max, var_cnst);
 344
 345   while (overall_error > min_error) {
 346     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f",
 347                min, max, min_diff, max_diff);
 348
 349     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 350       if (min == max) {
 351         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 352         min = min / 2.0;
 353         min_diff = diff(min, var_cnst);
 354       } else {
 355         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 356         max = min;
 357         max_diff = min_diff;
 358       }
 359     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 360       if (min == max) {
 361         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 362         max = max * 2.0;
 363         max_diff = diff(max, var_cnst);
 364       } else {
 365         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 366         min = max;
 367         min_diff = max_diff;
 368       }
 369     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 370       middle = (max + min) / 2.0;
 371       XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f", middle);
 372
 373       if ((fabs(min - middle) < 1e-20) || (fabs(max - middle) < 1e-20)){
 374         XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 375                   " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 376                   min, max - min, min_diff, max_diff);
 377         break;
 378       }
 379       middle_diff = diff(middle, var_cnst);
 380
 381       if (middle_diff < 0) {
 382         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 383         min = middle;
 384         overall_error = max_diff - middle_diff;
 385         min_diff = middle_diff;
 386       } else if (middle_diff > 0) {
 387         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 388         max = middle;
 389         overall_error = max_diff - middle_diff;
 390         max_diff = middle_diff;
 391       } else {
 392         overall_error = 0;
 393       }
 394     } else if (fabs(min_diff) < 1e-20) {
 395       max = min;
 396       overall_error = 0;
 397     } else if (fabs(max_diff) < 1e-20) {
 398       min = max;
 399       overall_error = 0;
 400     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 401       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy, "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 402       xbt_abort();
 403     } else {
 404       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 405              "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.",
 406              min_diff, max_diff);
 407       xbt_abort();
 408     }
 409   }
 410
 411   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 412   XBT_OUT();
 413   return ((min + max) / 2.0);
 414 }
 415
 416 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst)
 417 {
 418   lmm_constraint_t cnst = static_cast<lmm_constraint_t>(param_cnst);
 419   double diff = 0.0;
 420
 421   XBT_IN();
 422
 423   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", cnst);
 424
 425   xbt_swag_t elem_list = &(cnst->enabled_element_set);
 426   void* _elem;
 427   xbt_swag_foreach(_elem, elem_list) {
 428     lmm_element_t elem = static_cast<lmm_element_t>(_elem);
 429     lmm_variable_t var = elem->variable;
 430     xbt_assert(var->sharing_weight > 0);
 431     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)", var);
 432     // Initialize the summation variable
 433     double sigma_i = 0.0;
 434
 435     // Compute sigma_i
 436     for (s_lmm_element_t const& elem : var->cnsts) {
 437       sigma_i += elem.constraint->lambda;
 438     }
 439
 440     //add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 441     if (var->bound > 0)
 442       sigma_i += var->mu;
 443
 444     //replace value of cnst->lambda by the value of parameter lambda
 445     sigma_i = (sigma_i - cnst->lambda) + lambda;
 446
 447     diff += -var->func_fpi(var, sigma_i);
 448   }
 449
 450   diff += cnst->bound;
 451
 452   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", cnst, lambda, diff);
 453   XBT_OUT();
 454   return diff;
 455 }
 456
 457 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 458  *
 459  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 460  *
 461  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polymorphism in C pure, enjoy the roots of
 462  *  programming.
 463  *
 464  */
 465 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f) (lmm_variable_t var, double x),
 466                                        double (*func_fp) (lmm_variable_t var, double x),
 467                                        double (*func_fpi) (lmm_variable_t var, double x))
 468 {
 469   func_f_def = func_f;
 470   func_fp_def = func_fp;
 471   func_fpi_def = func_fpi;
 472 }
 473
 474 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 475 /* NOTE for Reno: all functions consider the network coefficient (alpha) equal to 1. */
 476
 477 /*
 478  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 479  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 480  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 481  */
 482 #define VEGAS_SCALING 1000.0
 483
 484 double func_vegas_f(lmm_variable_t var, double x)
 485 {
 486   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 487   return VEGAS_SCALING * var->sharing_weight * log(x);
 488 }
 489
 490 double func_vegas_fp(lmm_variable_t var, double x)
 491 {
 492   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 493   return VEGAS_SCALING * var->sharing_weight / x;
 494 }
 495
 496 double func_vegas_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 497 {
 498   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 499   return var->sharing_weight / (x / VEGAS_SCALING);
 500 }
 501
 502 /*
 503  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 504  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 505  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 506  */
 507 #define RENO_SCALING 1.0
 508 double func_reno_f(lmm_variable_t var, double x)
 509 {
 510   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 511
 512   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var->sharing_weight * atan(sqrt(3.0 / 2.0) * var->sharing_weight * x);
 513 }
 514
 515 double func_reno_fp(lmm_variable_t var, double x)
 516 {
 517   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var->sharing_weight * var->sharing_weight * x * x + 2.0);
 518 }
 519
 520 double func_reno_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 521 {
 522   double res_fpi;
 523
 524   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 525   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 526
 527   res_fpi = 1.0 / (var->sharing_weight * var->sharing_weight * (x / RENO_SCALING)) -
 528             2.0 / (3.0 * var->sharing_weight * var->sharing_weight);
 529   if (res_fpi <= 0.0)
 530     return 0.0;
 531   return sqrt(res_fpi);
 532 }
 533
 534 /* Implementing new Reno-2
 535  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 536  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 537  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 538  */
 539 #define RENO2_SCALING 1.0
 540 double func_reno2_f(lmm_variable_t var, double x)
 541 {
 542   xbt_assert(var->sharing_weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 543   return RENO2_SCALING * (1.0 / var->sharing_weight) *
 544          log((x * var->sharing_weight) / (2.0 * x * var->sharing_weight + 3.0));
 545 }
 546
 547 double func_reno2_fp(lmm_variable_t var, double x)
 548 {
 549   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var->sharing_weight * x * (2.0 * var->sharing_weight * x + 3.0));
 550 }
 551
 552 double func_reno2_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 553 {
 554   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 555   double tmp     = x * var->sharing_weight * var->sharing_weight;
 556   double res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 557
 558   if (res_fpi <= 0.0)
 559     return 0.0;
 560
 561   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 562   return res_fpi;
 563 }