src/surf/lagrange.c

   1 /* Copyright (c) 2007, 2008, 2009, 2010. The SimGrid Team.
   2  * All rights reserved.                                                     */
   3
   4 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   5  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   6
   7 /*
   8  * Modelling the proportional fairness using the Lagrange Optimization
   9  * Approach. For a detailed description see:
  10  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
  11  */
  12 #include "xbt/log.h"
  13 #include "xbt/sysdep.h"
  14 #include "maxmin_private.h"
  15
  16 #include <stdlib.h>
  17 #ifndef MATH
  18 #include <math.h>
  19 #endif
  20
  21 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf,
  22                                 "Logging specific to SURF (lagrange)");
  23 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange,
  24                         "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  25
  26 #define SHOW_EXPR(expr) XBT_CDEBUG(surf_lagrange,#expr " = %g",expr);
  27
  28 double (*func_f_def) (lmm_variable_t, double);
  29 double (*func_fp_def) (lmm_variable_t, double);
  30 double (*func_fpi_def) (lmm_variable_t, double);
  31
  32 /*
  33  * Local prototypes to implement the lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  34  */
  35 //solves the proportional fairness using a lagrange optimizition with dichotomy step
  36 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  37 //computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  38 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *),
  39                         void *var_cnst, double min_error);
  40 //computes the value of the differential of constraint param_cnst applied to lambda
  41 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst);
  42
  43 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list,
  44                             int warn)
  45 {
  46   xbt_swag_t elem_list = NULL;
  47   lmm_element_t elem = NULL;
  48   lmm_constraint_t cnst = NULL;
  49   lmm_variable_t var = NULL;
  50
  51   double tmp;
  52
  53   xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list) {
  54     tmp = 0;
  55     elem_list = &(cnst->element_set);
  56     xbt_swag_foreach(elem, elem_list) {
  57       var = elem->variable;
  58       if (var->weight <= 0)
  59         continue;
  60       tmp += var->value;
  61     }
  62
  63     if (double_positive(tmp - cnst->bound)) {
  64       if (warn)
  65         XBT_WARN
  66             ("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f",
  67              cnst, cnst->bound, tmp);
  68       return 0;
  69     }
  70     XBT_DEBUG
  71         ("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ",
  72          cnst, tmp - cnst->bound, cnst->lambda);
  73   }
  74
  75   xbt_swag_foreach(var, var_list) {
  76     if (!var->weight)
  77       break;
  78     if (var->bound < 0)
  79       continue;
  80     XBT_DEBUG("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var,
  81            var->value - var->bound, var->mu);
  82
  83     if (double_positive(var->value - var->bound)) {
  84       if (warn)
  85         XBT_WARN
  86             ("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f",
  87              var, var->bound, var->value);
  88       return 0;
  89     }
  90   }
  91   return 1;
  92 }
  93
  94 static double new_value(lmm_variable_t var)
  95 {
  96   double tmp = 0;
  97   int i;
  98
  99   for (i = 0; i < var->cnsts_number; i++) {
 100     tmp += (var->cnsts[i].constraint)->lambda;
 101   }
 102   if (var->bound > 0)
 103     tmp += var->mu;
 104   XBT_DEBUG("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", var, tmp,
 105          var->weight);
 106   //uses the partial differential inverse function
 107   return var->func_fpi(var, tmp);
 108 }
 109
 110 static double new_mu(lmm_variable_t var)
 111 {
 112   double mu_i = 0.0;
 113   double sigma_i = 0.0;
 114   int j;
 115
 116   for (j = 0; j < var->cnsts_number; j++) {
 117     sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 118   }
 119   mu_i = var->func_fp(var, var->bound) - sigma_i;
 120   if (mu_i < 0.0)
 121     return 0.0;
 122   return mu_i;
 123 }
 124
 125 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 126 {
 127   lmm_constraint_t cnst = NULL;
 128   lmm_variable_t var = NULL;
 129
 130   double obj = 0.0;
 131
 132   xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 133     double sigma_i = 0.0;
 134     int j;
 135
 136     if (!var->weight)
 137       break;
 138
 139     for (j = 0; j < var->cnsts_number; j++)
 140       sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 141
 142     if (var->bound > 0)
 143       sigma_i += var->mu;
 144
 145     XBT_DEBUG("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 146
 147     obj += var->func_f(var, var->func_fpi(var, sigma_i)) -
 148         sigma_i * var->func_fpi(var, sigma_i);
 149
 150     if (var->bound > 0)
 151       obj += var->mu * var->bound;
 152   }
 153
 154   xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list)
 155       obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 156
 157   return obj;
 158 }
 159
 160 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 161 {
 162   /*
 163    * Lagrange Variables.
 164    */
 165   int max_iterations = 100;
 166   double epsilon_min_error = MAXMIN_PRECISION;
 167   double dichotomy_min_error = 1e-14;
 168   double overall_modification = 1;
 169
 170   /*
 171    * Variables to manipulate the data structure proposed to model the maxmin
 172    * fairness. See docummentation for more details.
 173    */
 174   xbt_swag_t cnst_list = NULL;
 175   lmm_constraint_t cnst = NULL;
 176
 177   xbt_swag_t var_list = NULL;
 178   lmm_variable_t var = NULL;
 179
 180   /*
 181    * Auxiliar variables.
 182    */
 183   int iteration = 0;
 184   double tmp = 0;
 185   int i;
 186   double obj, new_obj;
 187
 188   XBT_DEBUG("Iterative method configuration snapshot =====>");
 189   XBT_DEBUG("#### Maximum number of iterations       : %d", max_iterations);
 190   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated            : %e",
 191          epsilon_min_error);
 192   XBT_DEBUG("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e",
 193          dichotomy_min_error);
 194
 195   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 196     lmm_print(sys);
 197   }
 198
 199   if (!(sys->modified))
 200     return;
 201
 202
 203   /*
 204    * Initialize lambda.
 205    */
 206   cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 207   xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list) {
 208     cnst->lambda = 1.0;
 209     cnst->new_lambda = 2.0;
 210     XBT_DEBUG("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 211   }
 212
 213   /*
 214    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 215    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 216    */
 217   var_list = &(sys->variable_set);
 218   i = 0;
 219   xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 220     if (!var->weight)
 221       var->value = 0.0;
 222     else {
 223       int nb = 0;
 224       if (var->bound < 0.0) {
 225         XBT_DEBUG("#### NOTE var(%d) is a boundless variable", i);
 226         var->mu = -1.0;
 227         var->value = new_value(var);
 228       } else {
 229         var->mu = 1.0;
 230         var->new_mu = 2.0;
 231         var->value = new_value(var);
 232       }
 233       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->weight);
 234       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 235       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->weight);
 236       XBT_DEBUG("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 237       for (i = 0; i < var->cnsts_number; i++) {
 238         if (var->cnsts[i].value == 0.0)
 239           nb++;
 240       }
 241       if (nb == var->cnsts_number)
 242         var->value = 1.0;
 243     }
 244   }
 245
 246   /*
 247    * Compute dual objective.
 248    */
 249   obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 250
 251   /*
 252    * While doesn't reach a minimun error or a number maximum of iterations.
 253    */
 254   while (overall_modification > epsilon_min_error
 255          && iteration < max_iterations) {
 256 /*     int dual_updated=0; */
 257
 258     iteration++;
 259     XBT_DEBUG("************** ITERATION %d **************", iteration);
 260     XBT_DEBUG("-------------- Gradient Descent ----------");
 261
 262     /*
 263      * Improve the value of mu_i
 264      */
 265     xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 266       if (!var->weight)
 267         break;
 268       if (var->bound >= 0) {
 269         XBT_DEBUG("Working on var (%p)", var);
 270         var->new_mu = new_mu(var);
 271 /*      dual_updated += (fabs(var->new_mu-var->mu)>dichotomy_min_error); */
 272 /*      XBT_DEBUG("dual_updated (%d) : %1.20f",dual_updated,fabs(var->new_mu-var->mu)); */
 273         XBT_DEBUG("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var,
 274                var->mu, var->new_mu);
 275         var->mu = var->new_mu;
 276
 277         new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 278         XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj,
 279                obj - new_obj);
 280         xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error,
 281                     "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 282         obj = new_obj;
 283       }
 284     }
 285
 286     /*
 287      * Improve the value of lambda_i
 288      */
 289     xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list) {
 290       XBT_DEBUG("Working on cnst (%p)", cnst);
 291       cnst->new_lambda =
 292           dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, cnst,
 293                     dichotomy_min_error);
 294 /*       dual_updated += (fabs(cnst->new_lambda-cnst->lambda)>dichotomy_min_error); */
 295 /*       XBT_DEBUG("dual_updated (%d) : %1.20f",dual_updated,fabs(cnst->new_lambda-cnst->lambda)); */
 296       XBT_DEBUG("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f",
 297              cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 298       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 299
 300       new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 301       XBT_DEBUG("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj,
 302              obj - new_obj);
 303       xbt_assert(obj - new_obj >= -epsilon_min_error,
 304                   "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 305       obj = new_obj;
 306     }
 307
 308     /*
 309      * Now computes the values of each variable (\rho) based on
 310      * the values of \lambda and \mu.
 311      */
 312     XBT_DEBUG("-------------- Check convergence ----------");
 313     overall_modification = 0;
 314     xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 315       if (var->weight <= 0)
 316         var->value = 0.0;
 317       else {
 318         tmp = new_value(var);
 319
 320         overall_modification =
 321             MAX(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 322
 323         var->value = tmp;
 324         XBT_DEBUG("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e",
 325                var, var->value, overall_modification);
 326       }
 327     }
 328
 329     XBT_DEBUG("-------------- Check feasability ----------");
 330     if (!__check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 331       overall_modification = 1.0;
 332     XBT_DEBUG("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration,
 333            overall_modification);
 334 /*     if(!dual_updated) { */
 335 /*       XBT_WARN("Could not improve the convergence at iteration %d. Drop it!",iteration); */
 336 /*       break; */
 337 /*     } */
 338   }
 339
 340   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 341
 342   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 343     XBT_DEBUG("The method converges in %d iterations.", iteration);
 344   }
 345   if (iteration >= max_iterations) {
 346     XBT_DEBUG
 347         ("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.",
 348          iteration);
 349   }
 350 /*   XBT_INFO("Method converged after %d iterations", iteration); */
 351
 352   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 353     lmm_print(sys);
 354   }
 355 }
 356
 357 /*
 358  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy proccess with
 359  * respect to a given variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in
 360  * case of a constraint) and a initial value init.
 361  *
 362  * @param init initial value for \mu or \lambda
 363  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 364  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 365  * @param min_erro a minimun error tolerated
 366  *
 367  * @return a double correponding to the result of the dichotomyal process
 368  */
 369 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *),
 370                         void *var_cnst, double min_error)
 371 {
 372   double min, max;
 373   double overall_error;
 374   double middle;
 375   double min_diff, max_diff, middle_diff;
 376   double diff_0 = 0.0;
 377   min = max = init;
 378
 379   XBT_IN("");
 380
 381   if (init == 0.0) {
 382     min = max = 0.5;
 383   }
 384
 385   min_diff = max_diff = middle_diff = 0.0;
 386   overall_error = 1;
 387
 388   if ((diff_0 = diff(1e-16, var_cnst)) >= 0) {
 389     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 390     XBT_OUT();
 391     return 0.0;
 392   }
 393
 394   min_diff = diff(min, var_cnst);
 395   max_diff = diff(max, var_cnst);
 396
 397   while (overall_error > min_error) {
 398     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy,
 399             "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f",
 400             min, max, min_diff, max_diff);
 401
 402     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 403       if (min == max) {
 404         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 405         min = min / 2.0;
 406         min_diff = diff(min, var_cnst);
 407       } else {
 408         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 409         max = min;
 410         max_diff = min_diff;
 411       }
 412     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 413       if (min == max) {
 414         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 415         max = max * 2.0;
 416         max_diff = diff(max, var_cnst);
 417       } else {
 418         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 419         min = max;
 420         min_diff = max_diff;
 421       }
 422     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 423       middle = (max + min) / 2.0;
 424       XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f",
 425               middle);
 426
 427       if ((min == middle) || (max == middle)) {
 428         XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 429                "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 430                " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 431                min, max - min, min_diff, max_diff);
 432         break;
 433       }
 434       middle_diff = diff(middle, var_cnst);
 435
 436       if (middle_diff < 0) {
 437         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 438         min = middle;
 439         overall_error = max_diff - middle_diff;
 440         min_diff = middle_diff;
 441 /*      SHOW_EXPR(overall_error); */
 442       } else if (middle_diff > 0) {
 443         XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 444         max = middle;
 445         overall_error = max_diff - middle_diff;
 446         max_diff = middle_diff;
 447 /*      SHOW_EXPR(overall_error); */
 448       } else {
 449         overall_error = 0;
 450 /*      SHOW_EXPR(overall_error); */
 451       }
 452     } else if (min_diff == 0) {
 453       max = min;
 454       overall_error = 0;
 455 /*       SHOW_EXPR(overall_error); */
 456     } else if (max_diff == 0) {
 457       min = max;
 458       overall_error = 0;
 459 /*       SHOW_EXPR(overall_error); */
 460     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 461       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 462              "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 463       abort();
 464     } else {
 465       XBT_CWARN(surf_lagrange_dichotomy,
 466              "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.",
 467              min_diff, max_diff);
 468       abort();
 469     }
 470   }
 471
 472   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 473   XBT_OUT();
 474   return ((min + max) / 2.0);
 475 }
 476
 477 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst)
 478 {
 479
 480   int j;
 481   xbt_swag_t elem_list = NULL;
 482   lmm_element_t elem = NULL;
 483   lmm_variable_t var = NULL;
 484   lmm_constraint_t cnst = (lmm_constraint_t) param_cnst;
 485   double diff = 0.0;
 486   double sigma_i = 0.0;
 487
 488   XBT_IN("");
 489   elem_list = &(cnst->element_set);
 490
 491   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", cnst);
 492
 493   xbt_swag_foreach(elem, elem_list) {
 494     var = elem->variable;
 495     if (var->weight <= 0)
 496       continue;
 497
 498     XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)",
 499             var);
 500     // Initialize the summation variable
 501     sigma_i = 0.0;
 502
 503     // Compute sigma_i
 504     for (j = 0; j < var->cnsts_number; j++) {
 505       sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 506     }
 507
 508     //add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 509     if (var->bound > 0)
 510       sigma_i += var->mu;
 511
 512     //replace value of cnst->lambda by the value of parameter lambda
 513     sigma_i = (sigma_i - cnst->lambda) + lambda;
 514
 515     diff += -var->func_fpi(var, sigma_i);
 516   }
 517
 518
 519   diff += cnst->bound;
 520
 521   XBT_CDEBUG(surf_lagrange_dichotomy,
 522           "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", cnst, lambda,
 523           diff);
 524   XBT_OUT();
 525   return diff;
 526 }
 527
 528 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 529  *
 530  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 531  *
 532  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polimorfism in C pure, enjoy the roots of programming.
 533  *
 534  */
 535 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f)
 536
 537
 538
 539
 540
 541
 542                                         (lmm_variable_t var, double x),
 543                                        double (*func_fp) (lmm_variable_t
 544                                                           var, double x),
 545                                        double (*func_fpi) (lmm_variable_t
 546                                                            var, double x))
 547 {
 548   func_f_def = func_f;
 549   func_fp_def = func_fp;
 550   func_fpi_def = func_fpi;
 551 }
 552
 553
 554 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 555 /*
 556  * NOTE for Reno: all functions consider the network
 557  * coeficient (alpha) equal to 1.
 558  */
 559
 560 /*
 561  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 562  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 563  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 564  */
 565 #define VEGAS_SCALING 1000.0
 566
 567 double func_vegas_f(lmm_variable_t var, double x)
 568 {
 569   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 570   return VEGAS_SCALING * var->weight * log(x);
 571 }
 572
 573 double func_vegas_fp(lmm_variable_t var, double x)
 574 {
 575   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 576   return VEGAS_SCALING * var->weight / x;
 577 }
 578
 579 double func_vegas_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 580 {
 581   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 582   return var->weight / (x / VEGAS_SCALING);
 583 }
 584
 585 /*
 586  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 587  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 588  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 589  */
 590 #define RENO_SCALING 1.0
 591 double func_reno_f(lmm_variable_t var, double x)
 592 {
 593   xbt_assert(var->weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 594
 595   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var->weight *
 596       atan(sqrt(3.0 / 2.0) * var->weight * x);
 597 }
 598
 599 double func_reno_fp(lmm_variable_t var, double x)
 600 {
 601   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var->weight * var->weight * x * x +
 602                                2.0);
 603 }
 604
 605 double func_reno_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 606 {
 607   double res_fpi;
 608
 609   xbt_assert(var->weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 610   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 611
 612   res_fpi =
 613       1.0 / (var->weight * var->weight * (x / RENO_SCALING)) -
 614       2.0 / (3.0 * var->weight * var->weight);
 615   if (res_fpi <= 0.0)
 616     return 0.0;
 617 /*   xbt_assert(res_fpi>0.0,"Don't call me with stupid values!"); */
 618   return sqrt(res_fpi);
 619 }
 620
 621
 622 /* Implementing new Reno-2
 623  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 624  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 625  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 626  */
 627 #define RENO2_SCALING 1.0
 628 double func_reno2_f(lmm_variable_t var, double x)
 629 {
 630   xbt_assert(var->weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 631   return RENO2_SCALING * (1.0 / var->weight) * log((x * var->weight) /
 632                                                    (2.0 * x * var->weight +
 633                                                     3.0));
 634 }
 635
 636 double func_reno2_fp(lmm_variable_t var, double x)
 637 {
 638   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var->weight * x *
 639                                 (2.0 * var->weight * x + 3.0));
 640 }
 641
 642 double func_reno2_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 643 {
 644   double res_fpi;
 645   double tmp;
 646
 647   xbt_assert(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 648   tmp = x * var->weight * var->weight;
 649   res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 650
 651   if (res_fpi <= 0.0)
 652     return 0.0;
 653
 654   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 655   return res_fpi;
 656 }