src/surf/lagrange.c

   1 /* Copyright (c) 2007, 2008, 2009, 2010. The SimGrid Team.
   2  * All rights reserved.                                                     */
   3
   4 /* This program is free software; you can redistribute it and/or modify it
   5  * under the terms of the license (GNU LGPL) which comes with this package. */
   6
   7 /*
   8  * Modelling the proportional fairness using the Lagrange Optimization
   9  * Approach. For a detailed description see:
  10  * "ssh://username@scm.gforge.inria.fr/svn/memo/people/pvelho/lagrange/ppf.ps".
  11  */
  12 #include "xbt/log.h"
  13 #include "xbt/sysdep.h"
  14 #include "maxmin_private.h"
  15
  16 #include <stdlib.h>
  17 #ifndef MATH
  18 #include <math.h>
  19 #endif
  20
  21 XBT_LOG_NEW_DEFAULT_SUBCATEGORY(surf_lagrange, surf,
  22                                 "Logging specific to SURF (lagrange)");
  23 XBT_LOG_NEW_SUBCATEGORY(surf_lagrange_dichotomy, surf_lagrange,
  24                         "Logging specific to SURF (lagrange dichotomy)");
  25
  26 #define SHOW_EXPR(expr) CDEBUG1(surf_lagrange,#expr " = %g",expr);
  27
  28 double (*func_f_def) (lmm_variable_t, double);
  29 double (*func_fp_def) (lmm_variable_t, double);
  30 double (*func_fpi_def) (lmm_variable_t, double);
  31
  32 /*
  33  * Local prototypes to implement the lagrangian optimization with optimal step, also called dichotomy.
  34  */
  35 //solves the proportional fairness using a lagrange optimizition with dichotomy step
  36 void lagrange_solve(lmm_system_t sys);
  37 //computes the value of the dichotomy using a initial values, init, with a specific variable or constraint
  38 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *),
  39                         void *var_cnst, double min_error);
  40 //computes the value of the differential of variable param_var applied to mu
  41 static double partial_diff_mu(double mu, void *param_var);
  42 //computes the value of the differential of constraint param_cnst applied to lambda
  43 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst);
  44
  45 static int __check_feasible(xbt_swag_t cnst_list, xbt_swag_t var_list,
  46                             int warn)
  47 {
  48   xbt_swag_t elem_list = NULL;
  49   lmm_element_t elem = NULL;
  50   lmm_constraint_t cnst = NULL;
  51   lmm_variable_t var = NULL;
  52
  53   double tmp;
  54
  55   xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list) {
  56     tmp = 0;
  57     elem_list = &(cnst->element_set);
  58     xbt_swag_foreach(elem, elem_list) {
  59       var = elem->variable;
  60       if (var->weight <= 0)
  61         continue;
  62       tmp += var->value;
  63     }
  64
  65     if (double_positive(tmp - cnst->bound)) {
  66       if (warn)
  67         WARN3
  68           ("The link (%p) is over-used. Expected less than %f and got %f",
  69            cnst, cnst->bound, tmp);
  70       return 0;
  71     }
  72     DEBUG3
  73       ("Checking feasability for constraint (%p): sat = %f, lambda = %f ",
  74        cnst, tmp - cnst->bound, cnst->lambda);
  75   }
  76
  77   xbt_swag_foreach(var, var_list) {
  78     if (!var->weight)
  79       break;
  80     if (var->bound < 0)
  81       continue;
  82     DEBUG3("Checking feasability for variable (%p): sat = %f mu = %f", var,
  83            var->value - var->bound, var->mu);
  84
  85     if (double_positive(var->value - var->bound)) {
  86       if (warn)
  87         WARN3
  88           ("The variable (%p) is too large. Expected less than %f and got %f",
  89            var, var->bound, var->value);
  90       return 0;
  91     }
  92   }
  93   return 1;
  94 }
  95
  96 static double new_value(lmm_variable_t var)
  97 {
  98   double tmp = 0;
  99   int i;
 100
 101   for (i = 0; i < var->cnsts_number; i++) {
 102     tmp += (var->cnsts[i].constraint)->lambda;
 103   }
 104   if (var->bound > 0)
 105     tmp += var->mu;
 106   DEBUG3("\t Working on var (%p). cost = %e; Weight = %e", var, tmp,
 107          var->weight);
 108   //uses the partial differential inverse function
 109   return var->func_fpi(var, tmp);
 110 }
 111
 112 static double new_mu(lmm_variable_t var)
 113 {
 114   double mu_i = 0.0;
 115   double sigma_i = 0.0;
 116   int j;
 117
 118   for (j = 0; j < var->cnsts_number; j++) {
 119     sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 120   }
 121   mu_i = var->func_fp(var, var->bound) - sigma_i;
 122   if (mu_i < 0.0)
 123     return 0.0;
 124   return mu_i;
 125 }
 126
 127 static double dual_objective(xbt_swag_t var_list, xbt_swag_t cnst_list)
 128 {
 129   lmm_constraint_t cnst = NULL;
 130   lmm_variable_t var = NULL;
 131
 132   double obj = 0.0;
 133
 134   xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 135     double sigma_i = 0.0;
 136     int j;
 137
 138     if (!var->weight)
 139       break;
 140
 141     for (j = 0; j < var->cnsts_number; j++)
 142       sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 143
 144     if (var->bound > 0)
 145       sigma_i += var->mu;
 146
 147     DEBUG2("var %p : sigma_i = %1.20f", var, sigma_i);
 148
 149     obj += var->func_f(var, var->func_fpi(var, sigma_i)) -
 150       sigma_i * var->func_fpi(var, sigma_i);
 151
 152     if (var->bound > 0)
 153       obj += var->mu * var->bound;
 154   }
 155
 156   xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list)
 157     obj += cnst->lambda * cnst->bound;
 158
 159   return obj;
 160 }
 161
 162 void lagrange_solve(lmm_system_t sys)
 163 {
 164   /*
 165    * Lagrange Variables.
 166    */
 167   int max_iterations = 100;
 168   double epsilon_min_error = MAXMIN_PRECISION;
 169   double dichotomy_min_error = 1e-14;
 170   double overall_modification = 1;
 171
 172   /*
 173    * Variables to manipulate the data structure proposed to model the maxmin
 174    * fairness. See docummentation for more details.
 175    */
 176   xbt_swag_t cnst_list = NULL;
 177   lmm_constraint_t cnst = NULL;
 178
 179   xbt_swag_t var_list = NULL;
 180   lmm_variable_t var = NULL;
 181
 182   /*
 183    * Auxiliar variables.
 184    */
 185   int iteration = 0;
 186   double tmp = 0;
 187   int i;
 188   double obj, new_obj;
 189
 190   DEBUG0("Iterative method configuration snapshot =====>");
 191   DEBUG1("#### Maximum number of iterations       : %d", max_iterations);
 192   DEBUG1("#### Minimum error tolerated            : %e", epsilon_min_error);
 193   DEBUG1("#### Minimum error tolerated (dichotomy) : %e",
 194          dichotomy_min_error);
 195
 196   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 197     lmm_print(sys);
 198   }
 199
 200   if (!(sys->modified))
 201     return;
 202
 203
 204   /*
 205    * Initialize lambda.
 206    */
 207   cnst_list = &(sys->active_constraint_set);
 208   xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list) {
 209     cnst->lambda = 1.0;
 210     cnst->new_lambda = 2.0;
 211     DEBUG2("#### cnst(%p)->lambda :  %e", cnst, cnst->lambda);
 212   }
 213
 214   /*
 215    * Initialize the var list variable with only the active variables.
 216    * Associate an index in the swag variables. Initialize mu.
 217    */
 218   var_list = &(sys->variable_set);
 219   i = 0;
 220   xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 221     if (!var->weight)
 222       var->value = 0.0;
 223     else {
 224       int nb = 0;
 225       if (var->bound < 0.0) {
 226         DEBUG1("#### NOTE var(%d) is a boundless variable", i);
 227         var->mu = -1.0;
 228         var->value = new_value(var);
 229       } else {
 230         var->mu = 1.0;
 231         var->new_mu = 2.0;
 232         var->value = new_value(var);
 233       }
 234       DEBUG2("#### var(%p) ->weight :  %e", var, var->weight);
 235       DEBUG2("#### var(%p) ->mu :  %e", var, var->mu);
 236       DEBUG2("#### var(%p) ->weight: %e", var, var->weight);
 237       DEBUG2("#### var(%p) ->bound: %e", var, var->bound);
 238       for (i = 0; i < var->cnsts_number; i++) {
 239         if (var->cnsts[i].value == 0.0)
 240           nb++;
 241       }
 242       if (nb == var->cnsts_number)
 243         var->value = 1.0;
 244     }
 245   }
 246
 247   /*
 248    * Compute dual objective.
 249    */
 250   obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 251
 252   /*
 253    * While doesn't reach a minimun error or a number maximum of iterations.
 254    */
 255   while (overall_modification > epsilon_min_error
 256          && iteration < max_iterations) {
 257 /*     int dual_updated=0; */
 258
 259     iteration++;
 260     DEBUG1("************** ITERATION %d **************", iteration);
 261     DEBUG0("-------------- Gradient Descent ----------");
 262
 263     /*
 264      * Improve the value of mu_i
 265      */
 266     xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 267       if (!var->weight)
 268         break;
 269       if (var->bound >= 0) {
 270         DEBUG1("Working on var (%p)", var);
 271         var->new_mu = new_mu(var);
 272 /*      dual_updated += (fabs(var->new_mu-var->mu)>dichotomy_min_error); */
 273 /*      DEBUG2("dual_updated (%d) : %1.20f",dual_updated,fabs(var->new_mu-var->mu)); */
 274         DEBUG3("Updating mu : var->mu (%p) : %1.20f -> %1.20f", var,
 275                var->mu, var->new_mu);
 276         var->mu = var->new_mu;
 277
 278         new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 279         DEBUG3("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj,
 280                obj - new_obj);
 281         xbt_assert1(obj - new_obj >= -epsilon_min_error,
 282                     "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 283         obj = new_obj;
 284       }
 285     }
 286
 287     /*
 288      * Improve the value of lambda_i
 289      */
 290     xbt_swag_foreach(cnst, cnst_list) {
 291       DEBUG1("Working on cnst (%p)", cnst);
 292       cnst->new_lambda =
 293         dichotomy(cnst->lambda, partial_diff_lambda, cnst,
 294                   dichotomy_min_error);
 295 /*       dual_updated += (fabs(cnst->new_lambda-cnst->lambda)>dichotomy_min_error); */
 296 /*       DEBUG2("dual_updated (%d) : %1.20f",dual_updated,fabs(cnst->new_lambda-cnst->lambda)); */
 297       DEBUG3("Updating lambda : cnst->lambda (%p) : %1.20f -> %1.20f",
 298              cnst, cnst->lambda, cnst->new_lambda);
 299       cnst->lambda = cnst->new_lambda;
 300
 301       new_obj = dual_objective(var_list, cnst_list);
 302       DEBUG3("Improvement for Objective (%g -> %g) : %g", obj, new_obj,
 303              obj - new_obj);
 304       xbt_assert1(obj - new_obj >= -epsilon_min_error,
 305                   "Our gradient sucks! (%1.20f)", obj - new_obj);
 306       obj = new_obj;
 307     }
 308
 309     /*
 310      * Now computes the values of each variable (\rho) based on
 311      * the values of \lambda and \mu.
 312      */
 313     DEBUG0("-------------- Check convergence ----------");
 314     overall_modification = 0;
 315     xbt_swag_foreach(var, var_list) {
 316       if (var->weight <= 0)
 317         var->value = 0.0;
 318       else {
 319         tmp = new_value(var);
 320
 321         overall_modification =
 322           MAX(overall_modification, fabs(var->value - tmp));
 323
 324         var->value = tmp;
 325         DEBUG3("New value of var (%p)  = %e, overall_modification = %e",
 326                var, var->value, overall_modification);
 327       }
 328     }
 329
 330     DEBUG0("-------------- Check feasability ----------");
 331     if (!__check_feasible(cnst_list, var_list, 0))
 332       overall_modification = 1.0;
 333     DEBUG2("Iteration %d: overall_modification : %f", iteration,
 334            overall_modification);
 335 /*     if(!dual_updated) { */
 336 /*       WARN1("Could not improve the convergence at iteration %d. Drop it!",iteration); */
 337 /*       break; */
 338 /*     } */
 339   }
 340
 341   __check_feasible(cnst_list, var_list, 1);
 342
 343   if (overall_modification <= epsilon_min_error) {
 344     DEBUG1("The method converges in %d iterations.", iteration);
 345   }
 346   if (iteration >= max_iterations) {
 347     DEBUG1
 348       ("Method reach %d iterations, which is the maximum number of iterations allowed.",
 349        iteration);
 350   }
 351 /*   INFO1("Method converged after %d iterations", iteration); */
 352
 353   if (XBT_LOG_ISENABLED(surf_lagrange, xbt_log_priority_debug)) {
 354     lmm_print(sys);
 355   }
 356 }
 357
 358 /*
 359  * Returns a double value corresponding to the result of a dichotomy proccess with
 360  * respect to a given variable/constraint (\mu in the case of a variable or \lambda in
 361  * case of a constraint) and a initial value init.
 362  *
 363  * @param init initial value for \mu or \lambda
 364  * @param diff a function that computes the differential of with respect a \mu or \lambda
 365  * @param var_cnst a pointer to a variable or constraint
 366  * @param min_erro a minimun error tolerated
 367  *
 368  * @return a double correponding to the result of the dichotomyal process
 369  */
 370 static double dichotomy(double init, double diff(double, void *),
 371                         void *var_cnst, double min_error)
 372 {
 373   double min, max;
 374   double overall_error;
 375   double middle;
 376   double min_diff, max_diff, middle_diff;
 377   double diff_0 = 0.0;
 378   min = max = init;
 379
 380   XBT_IN;
 381
 382   if (init == 0.0) {
 383     min = max = 0.5;
 384   }
 385
 386   min_diff = max_diff = middle_diff = 0.0;
 387   overall_error = 1;
 388
 389   if ((diff_0 = diff(1e-16, var_cnst)) >= 0) {
 390     CDEBUG1(surf_lagrange_dichotomy, "returning 0.0 (diff = %e)", diff_0);
 391     XBT_OUT;
 392     return 0.0;
 393   }
 394
 395   min_diff = diff(min, var_cnst);
 396   max_diff = diff(max, var_cnst);
 397
 398   while (overall_error > min_error) {
 399     CDEBUG4(surf_lagrange_dichotomy,
 400             "[min, max] = [%1.20f, %1.20f] || diffmin, diffmax = %1.20f, %1.20f",
 401             min, max, min_diff, max_diff);
 402
 403     if (min_diff > 0 && max_diff > 0) {
 404       if (min == max) {
 405         CDEBUG0(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing min");
 406         min = min / 2.0;
 407         min_diff = diff(min, var_cnst);
 408       } else {
 409         CDEBUG0(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 410         max = min;
 411         max_diff = min_diff;
 412       }
 413     } else if (min_diff < 0 && max_diff < 0) {
 414       if (min == max) {
 415         CDEBUG0(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing max");
 416         max = max * 2.0;
 417         max_diff = diff(max, var_cnst);
 418       } else {
 419         CDEBUG0(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 420         min = max;
 421         min_diff = max_diff;
 422       }
 423     } else if (min_diff < 0 && max_diff > 0) {
 424       middle = (max + min) / 2.0;
 425       CDEBUG1(surf_lagrange_dichotomy, "Trying (max+min)/2 : %1.20f", middle);
 426
 427       if ((min == middle) || (max == middle)) {
 428         CWARN4(surf_lagrange_dichotomy,
 429                "Cannot improve the convergence! min=max=middle=%1.20f, diff = %1.20f."
 430                " Reaching the 'double' limits. Maybe scaling your function would help ([%1.20f,%1.20f]).",
 431                min, max - min, min_diff, max_diff);
 432         break;
 433       }
 434       middle_diff = diff(middle, var_cnst);
 435
 436       if (middle_diff < 0) {
 437         CDEBUG0(surf_lagrange_dichotomy, "Increasing min");
 438         min = middle;
 439         overall_error = max_diff - middle_diff;
 440         min_diff = middle_diff;
 441 /*      SHOW_EXPR(overall_error); */
 442       } else if (middle_diff > 0) {
 443         CDEBUG0(surf_lagrange_dichotomy, "Decreasing max");
 444         max = middle;
 445         overall_error = max_diff - middle_diff;
 446         max_diff = middle_diff;
 447 /*      SHOW_EXPR(overall_error); */
 448       } else {
 449         overall_error = 0;
 450 /*      SHOW_EXPR(overall_error); */
 451       }
 452     } else if (min_diff == 0) {
 453       max = min;
 454       overall_error = 0;
 455 /*       SHOW_EXPR(overall_error); */
 456     } else if (max_diff == 0) {
 457       min = max;
 458       overall_error = 0;
 459 /*       SHOW_EXPR(overall_error); */
 460     } else if (min_diff > 0 && max_diff < 0) {
 461       CWARN0(surf_lagrange_dichotomy,
 462              "The impossible happened, partial_diff(min) > 0 && partial_diff(max) < 0");
 463       abort();
 464     } else {
 465       CWARN2(surf_lagrange_dichotomy,
 466              "diffmin (%1.20f) or diffmax (%1.20f) are something I don't know, taking no action.",
 467              min_diff, max_diff);
 468       abort();
 469     }
 470   }
 471
 472   CDEBUG1(surf_lagrange_dichotomy, "returning %e", (min + max) / 2.0);
 473   XBT_OUT;
 474   return ((min + max) / 2.0);
 475 }
 476
 477 static double partial_diff_lambda(double lambda, void *param_cnst)
 478 {
 479
 480   int j;
 481   xbt_swag_t elem_list = NULL;
 482   lmm_element_t elem = NULL;
 483   lmm_variable_t var = NULL;
 484   lmm_constraint_t cnst = (lmm_constraint_t) param_cnst;
 485   double diff = 0.0;
 486   double sigma_i = 0.0;
 487
 488   XBT_IN;
 489   elem_list = &(cnst->element_set);
 490
 491   CDEBUG1(surf_lagrange_dichotomy, "Computing diff of cnst (%p)", cnst);
 492
 493   xbt_swag_foreach(elem, elem_list) {
 494     var = elem->variable;
 495     if (var->weight <= 0)
 496       continue;
 497
 498     CDEBUG1(surf_lagrange_dichotomy, "Computing sigma_i for var (%p)", var);
 499     // Initialize the summation variable
 500     sigma_i = 0.0;
 501
 502     // Compute sigma_i
 503     for (j = 0; j < var->cnsts_number; j++) {
 504       sigma_i += (var->cnsts[j].constraint)->lambda;
 505     }
 506
 507     //add mu_i if this flow has a RTT constraint associated
 508     if (var->bound > 0)
 509       sigma_i += var->mu;
 510
 511     //replace value of cnst->lambda by the value of parameter lambda
 512     sigma_i = (sigma_i - cnst->lambda) + lambda;
 513
 514     diff += -var->func_fpi(var, sigma_i);
 515   }
 516
 517
 518   diff += cnst->bound;
 519
 520   CDEBUG3(surf_lagrange_dichotomy,
 521           "d D/d lambda for cnst (%p) at %1.20f = %1.20f", cnst, lambda,
 522           diff);
 523   XBT_OUT;
 524   return diff;
 525 }
 526
 527 /** \brief Attribute the value bound to var->bound.
 528  *
 529  *  \param func_fpi  inverse of the partial differential of f (f prime inverse, (f')^{-1})
 530  *
 531  *  Set default functions to the ones passed as parameters. This is a polimorfism in C pure, enjoy the roots of programming.
 532  *
 533  */
 534 void lmm_set_default_protocol_function(double (*func_f)
 535
 536
 537
 538
 539
 540
 541                                        (lmm_variable_t var, double x),
 542                                        double (*func_fp) (lmm_variable_t var,
 543                                                           double x),
 544                                        double (*func_fpi) (lmm_variable_t var,
 545                                                            double x))
 546 {
 547   func_f_def = func_f;
 548   func_fp_def = func_fp;
 549   func_fpi_def = func_fpi;
 550 }
 551
 552
 553 /**************** Vegas and Reno functions *************************/
 554 /*
 555  * NOTE for Reno: all functions consider the network
 556  * coeficient (alpha) equal to 1.
 557  */
 558
 559 /*
 560  * For Vegas: $f(x) = \alpha D_f\ln(x)$
 561  * Therefore: $fp(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 562  * Therefore: $fpi(x) = \frac{\alpha D_f}{x}$
 563  */
 564 #define VEGAS_SCALING 1000.0
 565
 566 double func_vegas_f(lmm_variable_t var, double x)
 567 {
 568   xbt_assert1(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 569   return VEGAS_SCALING * var->weight * log(x);
 570 }
 571
 572 double func_vegas_fp(lmm_variable_t var, double x)
 573 {
 574   xbt_assert1(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 575   return VEGAS_SCALING * var->weight / x;
 576 }
 577
 578 double func_vegas_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 579 {
 580   xbt_assert1(x > 0.0, "Don't call me with stupid values! (%1.20f)", x);
 581   return var->weight / (x / VEGAS_SCALING);
 582 }
 583
 584 /*
 585  * For Reno:  $f(x) = \frac{\sqrt{3/2}}{D_f} atan(\sqrt{3/2}D_f x)$
 586  * Therefore: $fp(x)  = \frac{3}{3 D_f^2 x^2+2}$
 587  * Therefore: $fpi(x)  = \sqrt{\frac{1}{{D_f}^2 x} - \frac{2}{3{D_f}^2}}$
 588  */
 589 #define RENO_SCALING 1.0
 590 double func_reno_f(lmm_variable_t var, double x)
 591 {
 592   xbt_assert0(var->weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 593
 594   return RENO_SCALING * sqrt(3.0 / 2.0) / var->weight * atan(sqrt(3.0 / 2.0) *
 595                                                              var->weight * x);
 596 }
 597
 598 double func_reno_fp(lmm_variable_t var, double x)
 599 {
 600   return RENO_SCALING * 3.0 / (3.0 * var->weight * var->weight * x * x + 2.0);
 601 }
 602
 603 double func_reno_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 604 {
 605   double res_fpi;
 606
 607   xbt_assert0(var->weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 608   xbt_assert0(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 609
 610   res_fpi =
 611     1.0 / (var->weight * var->weight * (x / RENO_SCALING)) -
 612     2.0 / (3.0 * var->weight * var->weight);
 613   if (res_fpi <= 0.0)
 614     return 0.0;
 615 /*   xbt_assert0(res_fpi>0.0,"Don't call me with stupid values!"); */
 616   return sqrt(res_fpi);
 617 }
 618
 619
 620 /* Implementing new Reno-2
 621  * For Reno-2:  $f(x)   = U_f(x_f) = \frac{{2}{D_f}}*ln(2+x*D_f)$
 622  * Therefore:   $fp(x)  = 2/(Weight*x + 2)
 623  * Therefore:   $fpi(x) = (2*Weight)/x - 4
 624  */
 625 #define RENO2_SCALING 1.0
 626 double func_reno2_f(lmm_variable_t var, double x)
 627 {
 628   xbt_assert0(var->weight > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 629   return RENO2_SCALING * (1.0 / var->weight) * log((x * var->weight) /
 630                                                    (2.0 * x * var->weight +
 631                                                     3.0));
 632 }
 633
 634 double func_reno2_fp(lmm_variable_t var, double x)
 635 {
 636   return RENO2_SCALING * 3.0 / (var->weight * x *
 637                                 (2.0 * var->weight * x + 3.0));
 638 }
 639
 640 double func_reno2_fpi(lmm_variable_t var, double x)
 641 {
 642   double res_fpi;
 643   double tmp;
 644
 645   xbt_assert0(x > 0.0, "Don't call me with stupid values!");
 646   tmp = x * var->weight * var->weight;
 647   res_fpi = tmp * (9.0 * x + 24.0);
 648
 649   if (res_fpi <= 0.0)
 650     return 0.0;
 651
 652   res_fpi = RENO2_SCALING * (-3.0 * tmp + sqrt(res_fpi)) / (4.0 * tmp);
 653   return res_fpi;
 654 }